{"id":2097,"date":"2016-07-18T06:52:56","date_gmt":"2016-07-18T06:52:56","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=2097"},"modified":"2016-07-18T06:53:28","modified_gmt":"2016-07-18T06:53:28","slug":"5-6-emprestito-cupon-periodico-constante-prepagable-con-anualidad-variable-progresion-aritmetica-puro-html","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/5-6-emprestito-cupon-periodico-constante-prepagable-con-anualidad-variable-progresion-aritmetica-puro-html\/","title":{"rendered":"5.6. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante prepagable con anualidad variable en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica y puro"},"content":{"rendered":"<p>El esquema de la operaci\u00f3n para un empr\u00e9stito de N<sub>1<\/sub> t\u00edtulos emitidos, de nominal c, cup\u00f3n peri\u00f3dico c x i* prepagable, con anualidades variables en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de raz\u00f3n conocida d y una duraci\u00f3n de n per\u00edodos (a\u00f1os) es:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p478-01.png\" width=\"544\" height=\"132\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>La estructura del t\u00e9rmino amortizativo ser\u00e1:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p478-02.png\" width=\"551\" height=\"73\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>5.6.1. Pasos a seguir<\/h3>\n<h4>5.6.1.1. C\u00e1lculo del primer t\u00e9rmino amortizativo (a<sub>1<\/sub>)<\/h4>\n<p>En el momento cero, inicio de la operaci\u00f3n, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al valor actualizado, al tanto del pr\u00e9stamo i*, de los pagos que realizar\u00e1 hasta el final:<\/p>\n<p>c x N<sub>1<\/sub> = c x N<sub>1<\/sub> x i* + a<sub>1<\/sub> x (1 &#8211; i*) + a<sub>2<\/sub> x (1 &#8211; i*)<sup>2<\/sup><sup> <\/sup>+ a<sub>3<\/sub> x (1 &#8211; i*)<sup>3<\/sup><sup> <\/sup>+ &#8230; + a<sub>n<\/sub> x (1 &#8211; i*)<sup>n<\/sup><\/p>\n<p>Simplificando en ambos miembros, pasando c x N<sub>1<\/sub> x i* al primer miembro y poniendo todos los t\u00e9rminos amortizativos en funci\u00f3n del primero de ellos y la raz\u00f3n:<\/p>\n<p><p>c x N<sub>1<\/sub> &#8211; c x N<sub>1<\/sub> x i* = a<sub>1<\/sub> x (1 &#8211; i*) + (a<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>+ d) x (1 &#8211; i*)<sup>2<\/sup><sup> <\/sup>+ (a<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>+ 2 x d) x  (1 &#8211; i*)<sup>3<\/sup> + &#8230; + [a<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>+ (n &#8211; 1) x d] (1 &#8211; i*)<sup>n<\/sup><\/p>\n<\/p>\n<p>sacando factor com\u00fan (1 \u2013 i*):<\/p>\n<p><p>c x N<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>(1 &#8211; i*) = (1 &#8211;  i*) [a<sub>1<\/sub> + (a<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>+ d) x (1 &#8211; i*)<sup> <\/sup>+ (a<sub>1<\/sub> + 2 x d) x (1 &#8211; i*)<sup>2<\/sup><sup>  <\/sup>+ &#8230; + [a<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>+ (n &#8211; 1) x d] x (1 &#8211; i*)<sup>n-1<\/sup>]<\/p>\n<p>c x N<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>= a<sub>1<\/sub>+ (a<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>+ d) x (1 &#8211; i*)<sup> <\/sup>+ (a<sub>1<\/sub> + 2 x d) x (1 &#8211; i*)<sup>2<\/sup><sup> <\/sup>+ &#8230; + [a<sub>1<\/sub><sub> <\/sub>+ (n &#8211; 1) x d] x (1 &#8211; i*)<sup>n-1<\/sup><\/p>\n<\/p>\n<p>De donde se obtendr\u00e1 el importe del primer t\u00e9rmino amortizativo (a<sub>1<\/sub>).<\/p>\n<h4>5.6.1.2. C\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados: ley de recurrencia (M<sub>k<\/sub>)<\/h4>\n<p>Para determinar el n\u00famero de t\u00edtulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos formas alternativas:<\/p>\n<p>A)<br \/>\n  1.\u00aa posibilidad: dando valores a k en la estructura del t\u00e9rmino amortizativo<\/p>\n<p>Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (t\u00e9rmino amortizativo) y la parte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabr\u00e1 cu\u00e1nto queda para amortizar, determin\u00e1ndose as\u00ed el n\u00famero de t\u00edtulos que podr\u00e1n retirarse de la circulaci\u00f3n en cada sorteo.<\/p>\n<p>Para ello se comenzar\u00e1 por el \u00faltimo per\u00edodo, ya que el t\u00e9rmino amortizativo, al no tener que pagarse cup\u00f3n, se destina \u00edntegramente a amortizar, as\u00ed:<\/p>\n<table border=\"0\" align=\"left\" cellpadding=\"5\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td>\nPer\u00edodo n: <\/p>\n<\/td>\n<td>a<sub>n<\/sub> = c x M<sub>n<\/sub><\/td>\n<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a<sub>n<\/sub><br \/>\n    &#8211;&gt; M<sub>n<\/sub> = &#8212;&#8212;<br \/>\n&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;    c<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\nPer\u00edodo n\u20131: <\/p>\n<\/td>\n<td>a<sub>n-1<\/sub> = c x i* x N<sub>n<\/sub> + c x M<sub>n-1<\/sub><\/td>\n<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a<sub>n-1<\/sub> \u2013 c x i* x N<sub>n<\/sub><br \/>\n      &#8211;&gt; M<sub>n-1<\/sub> = &#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211; <br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<td>Siendo N<sub>n<\/sub> = M<sub>n<\/sub>, conocido<\/td>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u2026<\/td>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Siguiendo de la misma manera se calcular\u00e1n los t\u00edtulos amortizados en cada sorteo. <\/p>\n<p>B)<br \/>\n2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la ley de recurrencia que siguen los t\u00edtulos amortizados<\/p>\n<p>La ley de recurrencia para obtener los t\u00edtulos a amortizar en cada per\u00edodo se obtendr\u00e1 por diferencias de dos t\u00e9rminos amortizativos consecutivos cualesquiera, as\u00ed:<\/p>\n<table border=\"0\" align=\"left\" cellpadding=\"5\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td>Per\u00edodo k: <\/td>\n<td>\n<div align=\"center\">a<sub>k<\/sub> = c x i* x N<sub>k+1<\/sub> + c x M<sub>k<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Per\u00edodo k+1: <\/td>\n<td>\n<div align=\"center\">a<sub>k+1<\/sub> = c x i* x N<sub>k+2<\/sub> + c x M<sub>k+1<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\">&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;-<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\">a<sub>k<\/sub> &#8211; a<sub>k+1<\/sub> = c x i* x (N<sub>k+1<\/sub> &#8211; N<sub>k+2<\/sub>) + c x M<sub>k<\/sub><sub> <\/sub>&#8211; c x M<sub>k+1<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>siendo N<sub>k+1<\/sub> \u2013 N<sub>k+2<\/sub> = M<sub>k+1<\/sub>, queda:<\/p>\n<p> \u2013 d = c x i* x M<sub>k+1<\/sub> + c x M<sub>k<\/sub> \u2013 c x M<sub>k+1<\/sub><\/p>\n<p>dividiendo la expresi\u00f3n por c:<\/p>\n<p> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;d<br \/>\n    \u2013 &#8212;&#8211; = i* x M<sub>k+1<\/sub> + M<sub>k<\/sub> \u2013 M<sub>k+1<\/sub><br \/>\n&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c<\/p>\n<p>de donde se obtiene:<\/p>\n<p> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;d<br \/>\n    M<sub>k<\/sub> = M<sub>k+1<\/sub> x (1 \u2013 i*) \u2013 &#8212;&#8211;<br \/>\n&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c <\/p>\n<h4>5.6.1.3. C\u00e1lculo del total de t\u00edtulos amortizados (m<sub>k<\/sub>)<\/h4>\n<p> Conocer la totalidad de t\u00edtulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas:<\/p>\n<p>\u2022 Por diferencias, entre el n\u00famero de t\u00edtulos emitidos y los que a\u00fan est\u00e1n en circulaci\u00f3n:<\/p>\n<p>m<sub>k<\/sub> = N<sub>1<\/sub> \u2013 N<sub>k+1<\/sub><\/p>\n<p>\u2022 Por suma de los t\u00edtulos amortizados hasta la fecha: <\/p>\n<p>m<sub>k<\/sub> = M<sub>1<\/sub> + M<sub>2<\/sub> + \u2026 + M<sub>k<\/sub><\/p>\n<h4>5.6.1.4. C\u00e1lculo de t\u00edtulos vivos a principio de cada per\u00edodo (N<sub>k+1<\/sub>)<\/h4>\n<p> En todo momento de la vida del empr\u00e9stito se cumple la igualdad entre el nominal del empr\u00e9stito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago del cup\u00f3n situado en el momento de estudio que corresponde al primer per\u00edodo pendiente):<\/p>\n<p>&nbsp; <\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p481-01.png\" width=\"525\" height=\"145\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>planteando la equivalencia en el momento k y simplificando:<\/p>\n<p>c x N<sub>k+1<\/sub><sub> <\/sub>= c x N<sub>k+1<\/sub> x i* + a<sub>k+1<\/sub> x (1 &#8211; i*) + a<sub>k+2<\/sub><sub> <\/sub>x<sub> <\/sub>(1 &#8211; i*)<sup>2<\/sup><sup> <\/sup>+ &#8230; + a<sub>n<\/sub> x (1 &#8211; i*)<sup>n-k<\/sup><\/p>\n<p>pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro:<\/p>\n<p>c x N<sub>k+1 <\/sub>(1 &#8211; i*) = a<sub>k+1<\/sub> x (1 &#8211; i*) +  a<sub>k+2<\/sub> x (1 &#8211; i*)<sup>2<\/sup> + &#8230; + a<sub>n<\/sub> x (1 &#8211; i*)<sup>n-k<\/sup><\/p>\n<p>c  x  N<sub>k+1<\/sub>  =  a<sub>k+1<\/sub>  +  a<sub>k+2 <\/sub><sub> <\/sub>x  (1  &#8211;  i*)<sup>  <\/sup>+  &#8230;  +  a<sub>n<\/sub><sub>  <\/sub>x  (1  &#8211;  i*)<sup>n-k-1<\/sup><\/p>\n<p>De donde se obtendr\u00e1 el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n (N<sub>k+1<\/sub>), ya que el resto de variables son conocidas.<\/p>\n<h4> 5.6.1.5. C\u00e1lculo del importe a pagar de cupones en el momento k<\/h4>\n<p> Los cupones de cualquier per\u00edodo se calcular\u00e1n a partir de los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n a principios de ese per\u00edodo, a los que se les entregar\u00e1 el cup\u00f3n acordado (c x i*), pero el cobro\/pago se realizar\u00e1 a principios de ese per\u00edodo. Por tanto en k, principios del per\u00edodo k+1, se pagar\u00e1 el cup\u00f3n correspondiente al per\u00edodo k+1.<\/p>\n<p>En el momento k: c x i* x N<sub>k+1<\/sub>\n        <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El esquema de la operaci\u00f3n para un empr\u00e9stito de N1 t\u00edtulos emitidos, de nominal c, cup\u00f3n peri\u00f3dico c x i* prepagable, con anualidades variables en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de raz\u00f3n conocida d y una duraci\u00f3n de n per\u00edodos (a\u00f1os) es: &nbsp; &nbsp; La estructura del t\u00e9rmino amortizativo ser\u00e1: &nbsp; &nbsp; 5.6.1. Pasos a seguir 5.6.1.1. 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