{"id":2094,"date":"2016-07-18T06:51:11","date_gmt":"2016-07-18T06:51:11","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=2094"},"modified":"2016-07-18T06:52:10","modified_gmt":"2016-07-18T06:52:10","slug":"5-5-emprestito-cupon-periodico-constante-prepagable-con-anualidad-variable-progresion-geometrica-puro-html","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/5-5-emprestito-cupon-periodico-constante-prepagable-con-anualidad-variable-progresion-geometrica-puro-html\/","title":{"rendered":"5.5. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante prepagable con anualidad variable en progresi\u00f3n geom\u00e9trica y puro"},"content":{"rendered":"

El esquema de la operaci\u00f3n para un empr\u00e9stito de N1<\/sub> t\u00edtulos emitidos, de nominal c, cup\u00f3n peri\u00f3dico c x i* prepagable, con anualidades variables en progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n conocida q y una duraci\u00f3n de n per\u00edodos (a\u00f1os) es:\n<\/p>\n

<\/p>\n

  <\/p>\n

La estructura del t\u00e9rmino amortizativo ser\u00e1:<\/p>\n

  <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

5.5.1. Pasos a seguir<\/h3>\n

5.5.1.1. C\u00e1lculo del primer t\u00e9rmino amortizativo (a1<\/sub>)<\/h4>\n

En el momento cero, inicio de la operaci\u00f3n, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al valor actualizado, al tanto del pr\u00e9stamo i*, de los pagos que realizar\u00e1 hasta el final:<\/p>\n

c x N1<\/sub> = c x N1<\/sub> x i* + a1<\/sub> x (1 \u2013 i*) + a2<\/sub> x (1 \u2013 i*)2<\/sup> + a3<\/sub> x (1 \u2013 i*)3<\/sup> + … + an<\/sub> x (1 \u2013 i*)n<\/sup><\/p>\n

Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1 x i* al primer miembro y poniendo todos los t\u00e9rminos amortizativos en funci\u00f3n del primero de ellos y la raz\u00f3n:<\/p>\n

c x N1<\/sub> \u2013 c x N1<\/sub> x i* = a1<\/sub> x (1 \u2013 i*) + a1<\/sub> x q x (1 \u2013 i*)2<\/sup> + a1<\/sub> x q2<\/sup><\/sub> x (1 \u2013 i*)3<\/sup> + \u2026 + a1<\/sub> x qn-1<\/sup> (1 \u2013 i*)n<\/sup><\/p>\n

sacando factor com\u00fan a1 x (1 \u2013 i*):<\/p>\n

c x N1<\/sub> x (1 \u2013 i*) = a1<\/sub> x (1 \u2013 i*) x [1 + q x (1 \u2013 i*) + q2<\/sup><\/sub> x (1 \u2013 i*)2<\/sup> + \u2026 + qn-1<\/sup> x (1 \u2013 i*)n-1<\/sup>]<\/p>\n

En el segundo miembro el corchete no es m\u00e1s que una suma de n t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica decreciente, que responde a la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n

       a1<\/sub> \u2013 an<\/sub> x r
\n S = —————
\n enable rich-textFormato de entrada Filtered HTML Etiquetas             1 \u2013 r?<\/p>\n

siendo a1 el primer t\u00e9rmino de la suma, an el \u00faltimo de los t\u00e9rminos y r la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n.<\/p>\n

Aplicando a este caso, se obtiene:<\/p>\n

                       1 \u2013 qn-1<\/sup> x (1 \u2013 i*)n-1<\/sup> x q x (1 \u2013 i*)
\n c x N1<\/sub> = a1<\/sub> x ———————————————–
\n                                       1 \u2013 q x (1 \u2013 i*)<\/p>\n

                       1 \u2013 qn<\/sup> x (1 \u2013 i*)n<\/sup>
\n c x N1<\/sub> = a1<\/sub> x ————————
\n                          1 \u2013 q + q x i*<\/p>\n

De donde se obtendr\u00e1 el importe del primer t\u00e9rmino amortizativo (a1<\/sub>).<\/p>\n

5.5.1.2. C\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados: ley de recurrencia (Mk<\/sub>)<\/h4>\n

Para determinar el n\u00famero de t\u00edtulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos formas alternativas:<\/p>\n

A) 1.\u00aa posibilidad: dando valores a k en la estructura del t\u00e9rmino amortizativo<\/p>\n

Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (t\u00e9rmino amortizativo) y la parte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabr\u00e1 cu\u00e1nto queda para amortizar, determin\u00e1ndose as\u00ed el n\u00famero de t\u00edtulos que podr\u00e1n retirarse de la circulaci\u00f3n en cada sorteo.<\/p>\n

Para ello se comenzar\u00e1 por el \u00faltimo per\u00edodo, ya que el t\u00e9rmino amortizativo, al no tener que pagarse cup\u00f3n, se destina \u00edntegramente a amortizar, as\u00ed:<\/p>\n

 <\/p>\n\n\n\n\n\n
\nPer\u00edodo n: <\/p>\n<\/td>\nan<\/sub> = c x Mn<\/sub><\/td>\n                an<\/sub>
\n –> Mn<\/sub> =——
\n                 c<\/td>\n<\/tr>\n
Per\u00edodo n\u20131:<\/td>\n an-1<\/sub> = c x i* x Nn<\/sub> + c x Mn-1<\/sub><\/td>\n                  an<\/sub>\u20131 \u2013 c x i* x Nn<\/sub>
\n –> Mn-1<\/sub> = ———————–
\n                               c<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\nSiendo Nn<\/sub> = Mn<\/sub>, conocido<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
\u2026<\/td>\n <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Siguiendo de la misma manera se calcular\u00e1n los t\u00edtulos amortizados en cada sorteo. <\/p>\n

B)
\n2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la ley de recurrencia que siguen los t\u00edtulos amortizados<\/p>\n

La ley de recurrencia para obtener los t\u00edtulos a amortizar en cada per\u00edodo se obtendr\u00e1 por diferencias de dos t\u00e9rminos amortizativos consecutivos cualesquiera, as\u00ed:<\/p>\n

 <\/p>\n\n\n\n\n\n
Per\u00edodo k: <\/td>\n\n
ak<\/sub> = c x i* x Nk+1<\/sub> + c x Mk<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
Per\u00edodo k+1: <\/td>\n\n
ak+1<\/sub> = c x i* x Nk+2<\/sub> + c x Mk+1<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n\n
————————————————————————<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n\n
ak<\/sub> \u2013 ak+1<\/sub> = c x i* x (Nk+1<\/sub> \u2013 Nk+2<\/sub> + c x Mk<\/sub> \u2013 c x Mk+1<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

siendo Nk+1<\/sub> \u2013 Nk+2<\/sub> = Mk+1<\/sub>, queda:<\/p>\n

ak<\/sub> x (1 \u2013 q) = c x i* x Mk+1<\/sub> + c x Mk<\/sub> \u2013 c x Mk+1<\/sub><\/p>\n

dividiendo la expresi\u00f3n por c:<\/p>\n

 ak<\/sub> x (1 \u2013 q)
\n ————— = i* x Mk+1<\/sub>+ Mk<\/sub> \u2013 Mk+1<\/sub>
\n          c<\/p>\n

de donde se obtiene:<\/p>\n

                                     ak<\/sub> x (1 \u2013 q)
\n Mk<\/sub> = Mk+1<\/sub> x (1 \u2013 i*) + ——————
\n                                              c<\/p>\n

5.5.1.3. C\u00e1lculo del total de t\u00edtulos amortizados (mk<\/sub>)<\/h4>\n

Conocer la totalidad de t\u00edtulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas:<\/p>\n

\u2022 Por diferencias, entre el n\u00famero de t\u00edtulos emitidos y los que a\u00fan est\u00e1n en circulaci\u00f3n:<\/p>\n

mk<\/sub> = N1<\/sub> \u2013 Nk+1<\/sub><\/p>\n

\u2022 Por suma de los t\u00edtulos amortizados hasta la fecha: <\/p>\n

mk<\/sub> = M1<\/sub> + M2<\/sub> + \u2026 + Mk<\/sub><\/p>\n

5.5.1.4. C\u00e1lculo de t\u00edtulos vivos a principio de cada per\u00edodo (Nk+1<\/sub>)<\/h4>\n

En todo momento de la vida del empr\u00e9stito se cumple la igualdad entre el nominal del empr\u00e9stito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago del cup\u00f3n situado en el momento de estudio que corresponde al primer per\u00edodo pendiente):<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

planteando la equivalencia en el momento k y simplificando:<\/p>\n

c x Nk+1<\/sub> = c x Nk+1<\/sub> x i* + ak+1<\/sub> x (1 \u2013 i*) + ak+2<\/sub> x (1 \u2013 i*)2<\/sup> + … + an<\/sub> x (1 \u2013 i*)n-k<\/sup><\/p>\n

pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro y sacando factor com\u00fan ak+1<\/sub> x (1 \u2013 i*):<\/p>\n

c x Nk+1<\/sub> (1 \u2013 i*) = ak+1<\/sub> x (1 \u2013 i*) x [1 + q (1 \u2013 i*) + q2<\/sup> (1 \u2013 i*)2<\/sup> + \u2026 + qn-k-1<\/sup> (1 \u2013 i*)n-k-1<\/sup>]<\/p>\n

dividiendo por 1 \u2013 i*:<\/p>\n

c x Nk+1<\/sub> x (1 \u2013 i*)<\/s> = ak+1<\/sub> x (1 \u2013 i*)<\/s> [1 + q (1 \u2013 i*) + q2<\/sup> (1 \u2013 i*)2<\/sup> + \u2026 + qn-k-1<\/sup> (1 \u2013 i*)n-k-1<\/sup>]<\/p>\n

En el segundo miembro el corchete es la suma de n\u2013k t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n

                             1 \u2013 qn-k<\/sup> x (1 \u2013 i*)n-k<\/sup>
\n c x Nk+1<\/sub> = ak+1<\/sub> x —————————-
\n                                   1 \u2013 q + q x i*<\/p>\n

De donde se obtendr\u00e1 el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n (Nk+1<\/sub>).<\/p>\n

Hay que observar que la expresi\u00f3n obtenida es id\u00e9ntica a la obtenida en el primer paso (para calcular la anualidad), variando la fecha donde est\u00e1n planteadas (una en 0 y otra en k).<\/p>\n

5.5.1.5. C\u00e1lculo del importe a pagar de cupones en el momento k<\/h4>\n

Los cupones de cualquier per\u00edodo se calcular\u00e1n a partir de los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n a principios de ese per\u00edodo, a los que se les entregar\u00e1 el cup\u00f3n acordado (c x i*), pero el cobro\/pago se realizar\u00e1 a principios de ese per\u00edodo. Por tanto en k, principios del per\u00edodo k+1, se pagar\u00e1 el cup\u00f3n correspondiente al per\u00edodo k+1.<\/p>\n

En el momento k: c x i* x Nk+1<\/sub><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El esquema de la operaci\u00f3n para un empr\u00e9stito de N1 t\u00edtulos emitidos, de nominal c, cup\u00f3n peri\u00f3dico c x i* prepagable, con anualidades variables en progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n conocida q y una duraci\u00f3n de n per\u00edodos (a\u00f1os) es:   La estructura del t\u00e9rmino amortizativo ser\u00e1:     5.5.1. Pasos a seguir 5.5.1.1. C\u00e1lculo del […]<\/p>\n","protected":false},"author":27,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":5055,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n5.5. 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