{"id":2032,"date":"2016-07-15T12:42:27","date_gmt":"2016-07-15T12:42:27","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=2032"},"modified":"2016-07-18T06:18:10","modified_gmt":"2016-07-18T06:18:10","slug":"5-1-emprestito-cupon-periodico-constante-prepagable-con-anualidad-constante-puro-html","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/5-1-emprestito-cupon-periodico-constante-prepagable-con-anualidad-constante-puro-html\/","title":{"rendered":"5.1. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante prepagable con anualidad constante y puro"},"content":{"rendered":"

Son empr\u00e9stitos con intereses prepagables, con t\u00e9rminos amortizativos constantes a1<\/sub> = a2<\/sub> = \u2026 = an<\/sub> = a, siendo el tipo de inter\u00e9s i* del cup\u00f3n constante para todos los per\u00edodos. <\/p>\n

Adem\u00e1s de los n t\u00e9rminos amortizativos constantes, habr\u00e1 que considerar un primer t\u00e9rmino adicional, en el origen, que recoja los intereses prepagables del primer per\u00edodo. <\/p>\n

Este empr\u00e9stito considerado globalmente es un pr\u00e9stamo alem\u00e1n.<\/p>\n

El esquema de la operaci\u00f3n para un empr\u00e9stito de N1 t\u00edtulos emitidos, de nominal c y una duraci\u00f3n de n per\u00edodos (a\u00f1os) es:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

La estructura del t\u00e9rmino amortizativo ser\u00e1:<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

<\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

5.1.1. Pasos a seguir<\/h3>\n

5.1.1.1. C\u00e1lculo del t\u00e9rmino amortizativo (a)<\/h4>\n

En el momento cero, inicio de la operaci\u00f3n, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al valor actualizado, al tanto del pr\u00e9stamo i*, de los pagos que realizar\u00e1 hasta el final:<\/p>\n

\n

c x N1<\/sub> = c x N1<\/sub> x i* + a x (1 \u2013 i*) + a x (1 \u2013 i*)2<\/sup> + … + a x (1 \u2013 i*)n<\/sup><\/p>\n<\/blockquote>\n

Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1<\/sub> x i* al primer miembro y sacando factor com\u00fan a (1 \u2013 i*):<\/p>\n

\n

c x N1<\/sub> \u2013 c x N1<\/sub> x i* = a x (1 \u2013 i*) [1 + (1 \u2013 i*) + (1 \u2013 i*)2<\/sup> \u2026 + (1 \u2013 i*)n-1<\/sup>]<\/p>\n<\/blockquote>\n

dividiendo por 1 \u2013 i*:<\/p>\n

\n

c x N1<\/sub> x (1 \u2013 i*)<\/s> = a x (1 \u2013 i*)<\/s> [1 + (1 \u2013 i*) + (1 \u2013 i*)2<\/sup> \u2026 + (1 \u2013 i*)n-1<\/sup>]<\/p>\n<\/blockquote>\n

En el segundo miembro el corchete no es m\u00e1s que una suma de n t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica decreciente, que responde a la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n

\n

        a1<\/sub> \u2013 an<\/sub> x r
\n S = —————–
\n              1 \u2013 r<\/p>\n<\/blockquote>\n

siendo a1 el primer t\u00e9rmino de la suma, an el \u00faltimo de los t\u00e9rminos y r la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n.<\/p>\n

Aplicando a este caso, se obtiene:<\/p>\n

\n

                    1 \u2013 (1 \u2013 i*)n-1<\/sup> x (1 \u2013 i*)           1 \u2013 (1 \u2013 i*)n<\/sup>
\n c x N1<\/sub> = a x ——————————- = a x —————-
\n                              1 \u2013 (1 \u2013 i*)                               i*<\/p>\n<\/blockquote>\n

De donde se obtendr\u00e1 el importe del t\u00e9rmino amortizativo (a).<\/p>\n

5.1.1.2. C\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados: ley de recurrencia (Mk<\/sub>)<\/h4>\n

Para determinar el n\u00famero de t\u00edtulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos formas alternativas:<\/p>\n

A) 1.\u00aa posibilidad: dando valores a k en la estructura del t\u00e9rmino amortizativo<\/p>\n

Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (t\u00e9rmino amortizativo) y la parte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabr\u00e1 cu\u00e1nto queda para amortizar, determin\u00e1ndose as\u00ed el n\u00famero de t\u00edtulos que podr\u00e1n retirarse de la circulaci\u00f3n en cada sorteo.<\/p>\n

Para ello se comenzar\u00e1 por el \u00faltimo per\u00edodo, ya que el t\u00e9rmino amortizativo, al no tener que pagarse cup\u00f3n, se destina \u00edntegramente a amortizar, as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n\n\n
Per\u00edodo n: <\/td>\na = c x Mn<\/sub> <\/td>\n                 a
\n — > Mn<\/sub> = ——
\n                  c<\/td>\n<\/tr>\n
Per\u00edodo n\u20131:\n<\/td>\na = c x i* x Nn<\/sub> + c x Mn-1<\/sub> <\/td>\n                  a \u2013 c x i* x Nn<\/sub>
\n –> Mn-1<\/sub> = ——————-
\n                             c<\/td>\n<\/tr>\n
\n

\n <\/p>\n<\/p>\n<\/td>\n

Siendo Nn<\/sub> = Mn<\/sub>, conocido<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n\u2026<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 <\/p>\n

\n<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Siguiendo de la misma manera se calcular\u00e1n los t\u00edtulos amortizados en cada sorteo. <\/p>\n

B)
\n2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la ley de recurrencia que siguen los t\u00edtulos amortizados<\/p>\n

La ley de recurrencia para obtener los t\u00edtulos a amortizar en cada per\u00edodo se obtendr\u00e1 por diferencias de dos t\u00e9rminos amortizativos consecutivos cualesquiera, as\u00ed:<\/p>\n

  <\/p>\n\n\n\n\n\n
Per\u00edodo k: a = <\/td>\nc x i* x Nk<\/sub>+1 + c x Mk<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n
Per\u00edodo k+1:<\/td>\n a = c x i* x Nk+2 + c x Mk+1<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n————————————————————<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\na \u2013 a = c x i* x (Nk+1<\/sub> \u2013 Nk+2<\/sub>) + c x Mk<\/sub> \u2013 c x Mk+1<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

siendo Nk+1<\/sub> \u2013 Nk+2<\/sub> = Mk+1<\/sub>, queda:<\/p>\n

\n

0 = c x i* x Mk+1<\/sub> + c x Mk<\/sub> \u2013 c x Mk+1<\/sub><\/p>\n<\/blockquote>\n

dividiendo la expresi\u00f3n por c:<\/p>\n

\n

0 = i* x Mk+1<\/sub> + Mk<\/sub> \u2013 Mk+1<\/sub><\/p>\n<\/blockquote>\n

de donde se obtiene:<\/p>\n

\n

Mk<\/sub> = Mk+1<\/sub> x (1 \u2013 i*)<\/p>\n<\/blockquote>\n

Por tanto, los t\u00edtulos amortizados siguen una progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n 1 \u2013 i*, es decir, cualquier Mk<\/sub> se puede calcular a partir del anterior, del \u00faltimo o de cualquiera conocido. Con car\u00e1cter gen\u00e9rico, se pondr\u00e1n en funci\u00f3n del \u00faltimo \u2013que es el m\u00e1s f\u00e1cil de obtener\u2013:<\/p>\n

\n

Mk<\/sub> = Mn<\/sub> x (1 \u2013 i*)n-k<\/sup> <\/p>\n<\/blockquote>\n

5.1.1.3. C\u00e1lculo del total de t\u00edtulos amortizados (mk<\/sub>)<\/h4>\n

Conocer la totalidad de t\u00edtulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas:<\/p>\n

\u2022 Por diferencias, entre el n\u00famero de t\u00edtulos emitidos y los que a\u00fan est\u00e1n en circulaci\u00f3n:<\/p>\n

\n

mk<\/sub> = N1<\/sub> \u2013 Nk+1<\/sub><\/p>\n<\/blockquote>\n

\u2022 Por suma de los t\u00edtulos amortizados hasta la fecha:<\/p>\n

\n

mk<\/sub> = M1<\/sub> + M2<\/sub> + \u2026 + Mk<\/sub><\/p>\n<\/blockquote>\n

5.1.1.4. C\u00e1lculo de t\u00edtulos vivos a principio de cada per\u00edodo (Nk+1<\/sub>)<\/h4>\n

En todo momento de la vida del empr\u00e9stito se cumple la igualdad entre el nominal del empr\u00e9stito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago del cup\u00f3n situado en el momento de estudio que corresponde al primer per\u00edodo pendiente):<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

planteando la equivalencia en el momento k y simplificando:<\/p>\n

\n

c x Nk+1<\/sub> = c x Nk+1<\/sub> x i* + a x (1 \u2013 i*) + a x (1 \u2013 i*)2<\/sup> + \u2026 + a x (1 \u2013 i*)n-k<\/sup><\/p>\n<\/blockquote>\n

pasando c x Nk+1<\/sub> x i* al primer miembro y sacando factor com\u00fan a x (1 \u2013 i*):<\/p>\n

\n

c x Nk+1<\/sub> (1 \u2013 i*) = a x (1 \u2013 i*) x [1 + (1 \u2013 i*) + (1 \u2013 i*)2<\/sup> \u2026 + (1 \u2013 i*)n-k-1<\/sup>]<\/p>\n<\/blockquote>\n

dividiendo por 1 \u2013 i*:<\/p>\n

\n

c x Nk+1<\/sub> x (1 \u2013 i*)<\/s> = a x (1 \u2013 i*)<\/s> [1 + (1 \u2013 i*) + (1 \u2013 i*)2<\/sup> \u2026 + (1 \u2013 i*)n-k-1<\/sup>]<\/p>\n<\/blockquote>\n

En el segundo miembro el corchete es la suma de n\u2013k t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n

\n

                        1 \u2013 (1 \u2013 i*)n-k<\/sup>
\n c x Nk+1<\/sub> = a x ——————–
\n                                    i*<\/p>\n<\/blockquote>\n

De donde se obtendr\u00e1 el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n (Nk+1<\/sub>).<\/p>\n

Hay que observar que la expresi\u00f3n obtenida es id\u00e9ntica a la obtenida en el primer paso (para calcular la anualidad), variando la fecha donde est\u00e1n planteadas (una en 0 y otra en k).<\/p>\n

5.1.1.5. C\u00e1lculo del importe a pagar de cupones en el momento k<\/h4>\n

Los cupones de cualquier per\u00edodo se calcular\u00e1n a partir de los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n a principios de ese per\u00edodo, a los que se les entregar\u00e1 el cup\u00f3n acordado (c x i*), pero el cobro\/pago se realizar\u00e1 a principios de ese per\u00edodo. Por tanto en k, principios del per\u00edodo k+1, se pagar\u00e1 el cup\u00f3n correspondiente al per\u00edodo k+1.<\/p>\n

\n

En el momento k: c x i* x Nk+1<\/sub><\/p>\n<\/blockquote>\n

\n

EJEMPLO 14 <\/strong><\/p>\n

Se emite el siguiente empr\u00e9stito:<\/p>\n

    \n
  • T\u00edtulos emitidos: 20.000.<\/li>\n
  • Nominal t\u00edtulo: 1.000 euros.<\/li>\n
  • Cup\u00f3n anual prepagable: 100 euros.<\/li>\n
  • Duraci\u00f3n: 3 a\u00f1os.<\/li>\n
  • Sorteos anuales, amortiz\u00e1ndose los t\u00edtulos por el nominal.<\/li>\n
  • Anualidad constante.<\/li>\n<\/ul>\n

    Se pide:<\/p>\n

      \n
    • Anualidad del empr\u00e9stito.<\/li>\n
    • Cuadro de amortizaci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n

      Soluci\u00f3n:<\/p>\n

      C\u00e1lculo de la anualidad<\/p>\n

      Anualidad constante, destinada al pago de un cup\u00f3n prepagable constante a los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n y a amortizar por el nominal a aquellos que corresponda. La estructura de la anualidad es:<\/p>\n

       <\/p>\n

      <\/p>\n

       <\/p>\n

      Planteando en el origen la equivalencia:<\/p>\n

      \n

                           1 \u2013 (1 \u2013 i*)n<\/sup>
      \n c x N1<\/sub> = a x ——————
      \n                               i*<\/p>\n

                                         1 \u2013 (1 \u2013 0,10)3<\/sup>
      \n 1.000 x 20.000 = a x ———————
      \n                                           0,10<\/p>\n

      a = 7.380.073,80<\/p>\n<\/blockquote>\n

      Cuadro de amortizaci\u00f3n<\/p>\n

        <\/p>\n\n\n\n\n
      \n
      <\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      (1)
      \n <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      (2) <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      (3) <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      (4) = (1) x 100 <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      (5) = 2 x 1.000 <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      (6) = (4) + (5)<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
      \n
      A\u00f1o <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      T\u00edtulos vivos <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      T\u00edtulos amortiz.<\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      Total t\u00edt. amort. <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      Intereses <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      Amortizaci\u00f3n <\/span><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      T\u00e9rmino amortizativo<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
      \n
      0
      \n 1
      \n 2
      \n 3<\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      20.000
      \n 14.022
      \n 7.380<\/p><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      \u2013         

      \n 5.978

      \n 6.642
      \n 7.380
      \n <\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      \u2013          
      \n 5.978

      \n 12.620
      \n 20.000
      \n <\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      2.000.000
      \n 1.402.200

      \n 738.000<\/p><\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      \u2013         
      \n 5.978.000

      \n 6.642.000
      \n 7.380.000 <\/div>\n<\/td>\n
      		\n
      2.000.000
      \n 7.380.200
      \n 7.380.000
      \n 7.380.000<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

       <\/p>\n

      (2)<\/span> C\u00e1lculo de los t\u00edtulos amortizados <\/p>\n

        <\/p>\n\n\n\n\n
                7.380.073,80
      \nM3 = —————— = 7.380,07
      \n               1.000 <\/td>\n      		M3 = 7.380<\/td>\n<\/tr>\n
      M2 = M3 x (1 \u2013 0,10) = 6.642,07 <\/td>\nM2 = 6.642<\/td>\n<\/tr>\n
                                              5.977,86
      \n M1 = M2 x (1 \u2013 0,10) =  —————
                                               19.999 <\/td>\n      		          5.978
      \n M1 = ———-
      \n          20.000<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

      (4) <\/span>En 0 se paga el cup\u00f3n a los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n durante el a\u00f1o 1, en 1 se les paga a los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n durante el a\u00f1o 2 y en 2 se pagar\u00e1 el cup\u00f3n a los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n durante el a\u00f1o 3.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Son empr\u00e9stitos con intereses prepagables, con t\u00e9rminos amortizativos constantes a1 = a2 = \u2026 = an = a, siendo el tipo de inter\u00e9s i* del cup\u00f3n constante para todos los per\u00edodos. Adem\u00e1s de los n t\u00e9rminos amortizativos constantes, habr\u00e1 que considerar un primer t\u00e9rmino adicional, en el origen, que recoja los intereses prepagables del primer […]<\/p>\n","protected":false},"author":27,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":5051,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n5.1. 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