La dificultad en este caso viene dada como consecuencia de la normalizaci\u00f3n, que origina unas anualidades normalizadas y unos tantos normalizados variables sin ninguna ley matem\u00e1tica.<\/p>\n
En su resoluci\u00f3n no podr\u00e1 aplicarse ninguna de las expresiones v\u00e1lidas para empr\u00e9stitos clase I, tipo I. Ser\u00e1 preciso calcular en primer lugar la anualidad te\u00f3rica para, a partir de ella, calcular el resto de datos.<\/p>\n
El c\u00e1lculo de la anualidad se har\u00e1 planteando (como siempre) la equivalencia financiera en el origen entre el nominal del empr\u00e9stito y las anualidades normalizadas actualizadas a los tantos normalizados vigentes en cada momento. En este caso, como consecuencia de las primas de amortizaci\u00f3n variables, tanto las anualidades normalizadas como los tantos normalizados no seguir\u00e1n ning\u00fan tipo de ley (ser\u00e1n aleatorios), por lo tanto no se podr\u00e1 utilizar en la actualizaci\u00f3n ni rentas ni sumatorios: habr\u00e1 que desplazar uno a uno cada t\u00e9rmino.<\/p>\n
\n
EJEMPLO 13 <\/strong><\/p>\nSe emite el siguiente empr\u00e9stito:<\/p>\n
\n- T\u00edtulos emitidos: 100.000.<\/li>\n
- Nominal del t\u00edtulo: 1.000 euros.<\/li>\n
- Duraci\u00f3n: 4 a\u00f1os.<\/li>\n
- Cup\u00f3n anual: 120 euros.<\/li>\n
- Sorteos anuales, amortiz\u00e1ndose los t\u00edtulos cada a\u00f1o al 110%, 120%, 130% y 150%, respectivamente.<\/li>\n
- Anualidad comercial constante.<\/li>\n<\/ul>\n
Se pide:<\/p>\n
\n- Anualidad.<\/li>\n
- Cuadro de amortizaci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n
La anualidad constante se destina a pagar un cup\u00f3n peri\u00f3dico constante a los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n y a amortizar los t\u00edtulos con primas de amortizaci\u00f3n variables, sin que entre ellas haya ninguna ley matem\u00e1tica. <\/p>\n
Pasos a seguir:<\/p>\n
1. Estructura de la anualidad te\u00f3rica<\/em><\/p>\n![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png\")
<\/p>\n
2. Normalizaci\u00f3n<\/em><\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-02.png\")
<\/p>\n
dando valores a k, para los diferentes a\u00f1os de vida de la operaci\u00f3n resulta:<\/p>\n
<\/p>\n
\n\n| k = 1 <\/td>\n | a x c
\n a’1<\/sub> = ————-
\n c + P1<\/sub> <\/td>\n c x i 120
\n i’1<\/sub> = ———- = ———- = 0,1091
\n c + P1<\/sub> 1.100 <\/td>\n<\/tr>\n\n| k = 2 <\/td>\n | a x c
\n a’2<\/sub> = ————
\n c + P2<\/sub><\/td>\n c x i 120
\n i’2<\/sub> = ———- = ———- = 0,10
\n c + P2<\/sub> 1.200 <\/td>\n<\/tr>\n\n| k = 3<\/td>\n | a x c
\na’3<\/sub> = ————
\n c + P3<\/sub><\/td>\n c x i 120
\ni’3<\/sub> = ———- = ———- = 0,0923
\n c + P3<\/sub> 1.300 <\/td>\n<\/tr>\n\n| k = 4<\/td>\n | a x c
\na’4<\/sub> = ————
\n c + P4<\/sub><\/td>\n c x i 120
\ni’4<\/sub> = ———- = ———- = 0,08
\n c + P4<\/sub> 1.500 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n donde todo es conocido salvo la anualidad a.<\/p>\n 3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal y las anualidades te\u00f3ricas normalizadas actualizando t\u00e9rmino a t\u00e9rmino, al tanto vigente en cada momento<\/em><\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p449-01.png\") <\/p>\n
<\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p449-02.png\") <\/p>\n <\/p>\n 4. Sustituci\u00f3n de las anualidades y tantos normalizados por los valores obtenidos en la normalizaci\u00f3n<\/em><\/p>\n![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p450-01.png\") <\/p>\n
5. Sustituci\u00f3n en la expresi\u00f3n por valores num\u00e9ricos y despeje de a<\/em><\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p450-02.png\") <\/p>\n Cuadro de amortizaci\u00f3n: c\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados<\/p>\n 1.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de anualidad previamente calculada<\/em><\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p450-03.png\") <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p451-01.png\") <\/p>\n
2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la ley de recurrencia que sigue<\/em><\/p>\n La ley de recurrencia se obtiene al relacionar, por diferencias, las anualidades de dos per\u00edodos consecutivos cualesquiera, as\u00ed:<\/p>\n <\/p>\n \n\n| Per\u00edodo k: <\/td>\n | \na = c x i x N k<\/sub> + ck<\/sub> x Mk<\/sub> <\/div>\n<\/td>\nsiendo: ck<\/sub> = c + pk<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n\n| Per\u00edodo k+1: <\/td>\n | \na = c x i x N k+1<\/sub> + ck+1<\/sub> x Mk+1<\/sub> <\/div>\n<\/td>\nsiendo: ck+1<\/sub> = c + pk+1<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n\n\n———————————————————————<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n \n\na \u2013 a = c x i x (N k<\/sub> \u2013 Nk+1<\/sub>) + ck<\/sub> x Mk<\/sub> \u2013 ck+1<\/sub> x Mk+1<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n simplificando ambos miembros, sabiendo que Nk<\/sub> \u2013 Nk+1<\/sub> = Mk<\/sub>:<\/p>\n 0 = c x i x Mk<\/SUB> + ck<\/sub> x Mk<\/sub> \u2013 ck+1<\/sub> x k+1<\/sub><\/p>\nde donde se obtiene:<\/p>\n c x i + ck<\/sub>
\n Mk+1 <\/sub>= Mk<\/sub> x ————
\n ck+1<\/sub><\/p>\ndando valores a k en la expresi\u00f3n anterior tendremos:<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p451-02.png\") <\/p>\n
<\/p>\n Para obtener M1, se tendr\u00e1 en cuenta que se cumple la siguiente igualdad:<\/p>\n N1<\/sub> = M1<\/sub> + M2<\/sub> + M3<\/sub> + M4<\/sub><\/p>\nSustituyendo en el segundo miembro conseguiremos dejar una ecuaci\u00f3n que dependa de M1:<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p452-01.png\") <\/p>\n
<\/p>\n Finalmente se despeja M1<\/sub>:<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p452-02.png\") \n <\/p>\n
<\/p>\n \n\n\n<\/p>\n <\/span><\/div>\n<\/td>\n \n(1)<\/span><\/div>\n<\/td>\n\n (2)<\/span><\/div>\n<\/td>\n\n (3)<\/span><\/div>\n<\/td>\n\n (4) = (1) x 120<\/span><\/div>\n<\/td>\n\n (5) = 2 x (c + pk<\/sub>) <\/span><\/div>\n<\/td>\n\n(6) = (4) + (5)<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n\n\nA\u00f1o <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nT\u00edtulos vivos <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nT\u00edtulos amortiz. <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nTotal t\u00edt. amort. <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nIntereses <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nAmortizaci\u00f3n <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nT\u00e9rmino amortizativo<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n\n\n1 \n 2 \n 3 \n 4 <\/div>\n<\/td>\n \n100.000 \n 75.163 \n 49.912 \n 24.272<\/div>\n<\/td>\n \n24.837 \n 25.251 \n 25.640 \n 24.272\n <\/div>\n<\/td>\n \n24.837 \n 50.088 \n 75.728 \n 100.000\n <\/div>\n<\/td>\n \n12.000.000 \n 9.019.560 \n 5.989.440 \n 2.912.640\n <\/div>\n<\/td>\n \n27.320.700 \n 30.301.200 \n 3.332.000 \n 36.408.000\n <\/div>\n<\/td>\n \n39.320.700 \n 39.320.760 \n 39.321.440 \n 39.320.640 <\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" La dificultad en este caso viene dada como consecuencia de la normalizaci\u00f3n, que origina unas anualidades normalizadas y unos tantos normalizados variables sin ninguna ley matem\u00e1tica. En su resoluci\u00f3n no podr\u00e1 aplicarse ninguna de las expresiones v\u00e1lidas para empr\u00e9stitos clase I, tipo I. Ser\u00e1 preciso calcular en primer lugar la anualidad te\u00f3rica para, a partir […]<\/p>\n","protected":false},"author":27,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":5038,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n 3.8. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad constante con primas - Blog de ADE<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"3.8. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad constante con primas - Blog de ADE\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"La dificultad en este caso viene dada como consecuencia de la normalizaci\u00f3n, que origina unas anualidades normalizadas y unos tantos normalizados variables sin ninguna ley matem\u00e1tica. En su resoluci\u00f3n no podr\u00e1 aplicarse ninguna de las expresiones v\u00e1lidas para empr\u00e9stitos clase I, tipo I. Ser\u00e1 preciso calcular en primer lugar la anualidad te\u00f3rica para, a partir […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Blog de ADE - Universidad a Distancia de Madrid | UDIMA\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2016-07-15T12:33:53+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"5 minutos\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/\",\"url\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/\",\"name\":\"3.8. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad constante con primas - Blog de ADE\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png\",\"datePublished\":\"2016-07-15T12:23:23+00:00\",\"dateModified\":\"2016-07-15T12:33:53+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"3.8. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad constante con primas\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/#website\",\"url\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/\",\"name\":\"Blog de ADE - Universidad a Distancia de Madrid | UDIMA\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"es\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"3.8. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad constante con primas - Blog de ADE","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"3.8. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad constante con primas - Blog de ADE","og_description":"La dificultad en este caso viene dada como consecuencia de la normalizaci\u00f3n, que origina unas anualidades normalizadas y unos tantos normalizados variables sin ninguna ley matem\u00e1tica. En su resoluci\u00f3n no podr\u00e1 aplicarse ninguna de las expresiones v\u00e1lidas para empr\u00e9stitos clase I, tipo I. Ser\u00e1 preciso calcular en primer lugar la anualidad te\u00f3rica para, a partir […]","og_url":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/","og_site_name":"Blog de ADE - Universidad a Distancia de Madrid | UDIMA","article_modified_time":"2016-07-15T12:33:53+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png"}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Tiempo de lectura":"5 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/","url":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/","name":"3.8. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad constante con primas - Blog de ADE","isPartOf":{"@id":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png","datePublished":"2016-07-15T12:23:23+00:00","dateModified":"2016-07-15T12:33:53+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#primaryimage","url":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png","contentUrl":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p448-01.png"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-8-emprestito-cupon-periodico-constante-anualidad-constante-con-primas-html\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"3.8. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad constante con primas"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/#website","url":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/","name":"Blog de ADE - Universidad a Distancia de Madrid | UDIMA","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"es"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2000"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/wp-json\/wp\/v2\/users\/27"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2000"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2000\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2021,"href":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2000\/revisions\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2000"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}} | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |