{"id":1979,"date":"2016-07-15T12:14:26","date_gmt":"2016-07-15T12:14:26","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=1979"},"modified":"2016-07-15T12:15:23","modified_gmt":"2016-07-15T12:15:23","slug":"11-1-caso-particular-metodo-aleman-html","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/11-1-caso-particular-metodo-aleman-html\/","title":{"rendered":"11.1. Caso particular m\u00e9todo alem\u00e1n"},"content":{"rendered":"

En este caso los t\u00e9rminos amortizativos permanecen constantes, a1<\/sub> = a2<\/sub> = \u2026 = an<\/sub> = = a, manteni\u00e9ndose tambi\u00e9n constante el tipo de inter\u00e9s i* para todos los per\u00edodos. Adem\u00e1s habr\u00e1 que tener en cuenta un primer t\u00e9rmino en el origen que recoja los intereses prepagables del primer per\u00edodo. El esquema de la operaci\u00f3n para un pr\u00e9stamo de cuant\u00eda C0<\/sub>, amortizable en n per\u00edodos, es:<\/p>\n

  <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

11.1.1. Pasos a seguir<\/h3>\n

11.1.1.1. C\u00e1lculo del t\u00e9rmino amortizativo (a)<\/h4>\n

A) 1.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la equivalencia financiera en el origen
\n En el momento cero, inicio de la operaci\u00f3n, la cantidad que recibe el prestatario debe ser igual al valor actualizado, al tanto del pr\u00e9stamo \u2013 i*, de los pagos que realizar\u00e1 durante toda la operaci\u00f3n. Al ser un inter\u00e9s anticipado el descuento ser\u00e1 del tipo comercial.<\/p>\n

C0 <\/sub> = C0<\/sub> x i* + a x (1 – i*) + a x (1 – i*)2 <\/sup>+ … + a x (1 – i*)n<\/sup><\/p>\n

Simplificando:<\/p>\n

C0<\/sub> – C0<\/sub> x i* = a x (1 – i*) [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2<\/sup> + … + (1 – i*)n-1<\/sup>]<\/p>\n

C0<\/sub> x (1 – i*)<\/s> = a x (1 – i*)<\/s> [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2<\/sup> + … + (1 – i*)n-1<\/sup>]<\/p>\n

En el segundo miembro el corchete no es m\u00e1s que una suma de t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n

                1 – (1 – i*)n
\n <\/sup>C0<\/sub> = a x —————-
\n                        i*<\/p>\n

De donde se obtendr\u00e1 el importe del t\u00e9rmino amortizativo del pr\u00e9stamo (a).<\/p>\n

B)
\n 2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de equiparaci\u00f3n del pr\u00e9stamo a otro equivalente con intereses vencidos (franc\u00e9s)<\/p>\n

A partir del tipo de inter\u00e9s anticipado (i*) calculamos el equivalente pospagable en compuesta:<\/p>\n

           i*
\n i = ————
\n        1 \u2013 i*<\/p>\n

El cambio de tipo afecta al importe del pr\u00e9stamo, que ser\u00e1 el de partida minorado en los intereses del primer per\u00edodo que se pagan en el origen:<\/p>\n

C'0<\/sub> = C0<\/sub> – C0<\/sub> x i* = C0<\/sub> x (1 – i*)<\/p>\n

El resultado es un pr\u00e9stamo de cuant\u00eda C’0<\/sub>, inter\u00e9s vencido i, n per\u00edodos y t\u00e9rminos amortizativos constantes (a). Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del pr\u00e9stamo y la renta formada por los t\u00e9rminos amortizativos: <\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

De donde se despeja el t\u00e9rmino: <\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

11.1.1.2. C\u00e1lculo del capital vivo a principio del per\u00edodo k+1 (Ck<\/sub>)<\/h4>\n

En un determinado momento de la vida del pr\u00e9stamo la deuda pendiente coincide con el valor actualizado de los pagos pendientes (incluida la cuota de inter\u00e9s situada en el momento de estudio que corresponde al primer per\u00edodo pendiente):<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

  <\/p>\n

Planteando la equivalencia en el momento k:<\/p>\n

Ck<\/sub> = Ck<\/sub> x i* + a x (1 – i*) + a x (1 – i*)2<\/sup> <\/sup>+ … + a x (1 – i*)n-k<\/sup><\/p>\n

Simplificando:<\/p>\n

Ck<\/sub> – Ck<\/sub> x i* = a x (1 – i*) x [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2<\/sup> + … + (1 – i*)n-k-1<\/sup>]<\/p>\n

Ck<\/sub> <\/sub> <\/sub>x (1 – i*)<\/s> = a x (1 – i*)<\/s> [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2<\/sup> + … + (1 – i*)n-k-1<\/sup>]<\/p>\n

De donde se obtiene la deuda pendiente:<\/p>\n

               1 \u2013 (1 \u2013 i*)n-k<\/sup>
\n Ck<\/sub><\/sub> = a x ———————
\n                         i*<\/p>\n

Expresi\u00f3n similar a la obtenida para el c\u00e1lculo del t\u00e9rmino amortizativo (paso 1.\u00ba), con la diferencia de la fecha donde est\u00e1n planteadas una y otra.<\/p>\n

Adem\u00e1s, en el origen se conoce la deuda pendiente (el importe del pr\u00e9stamo) y se desconoce el t\u00e9rmino amortizativo, mientras que en k ocurre al contrario, se desconoce la deuda pendiente y se conoce el importe del t\u00e9rmino amortizativo.<\/p>\n

11.1.1.3. C\u00e1lculo de cuotas de amortizaci\u00f3n: ley de recurrencia (Ak<\/sub>)<\/h4>\n

A) 1.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la estructura del t\u00e9rmino amortizativo<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

Una vez calculado el t\u00e9rmino amortizativo, se cumple lo siguiente:<\/p>\n

Per\u00edodo n:         a = An
\n <\/sub>Per\u00edodo n-1:      a = Cn-1<\/sub> x <\/sub>i* + An-1<\/sub> = An<\/sub> x i* + An-1<\/sub> –>
\n                          –> An<\/sub> <\/sub>= An<\/sub> <\/sub> x i* + An-1<\/sub> –> An-1<\/sub> <\/sub>= An<\/sub> x (1 – i*)
\n Per\u00edodo n-2:     a = Cn-2<\/sub> x i* + An-2<\/sub> = (An<\/sub> <\/sub>+ An-1<\/sub>) x i* <\/sup> + An-2<\/sub> –>
\n                          –> An<\/sub> <\/sub>= (An<\/sub> <\/sub>+ An-1<\/sub>) x i* + An-2
\n <\/sub>                         An-2 <\/sub>= An<\/sub> – An<\/sub>i* – An-1<\/sub>i* = An<\/sub> x (1 – i*) – An-1<\/sub>i*<\/p>\n

Y as\u00ed se continuar\u00eda hasta calcular el resto de cuotas de amortizaci\u00f3n, hasta llegar a la primera.<\/p>\n

B)
\n 2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortizaci\u00f3n<\/p>\n

La ley de recurrencia se obtiene al relacionar por diferencias los t\u00e9rminos amortizativos de dos per\u00edodos consecutivos cualesquiera, as\u00ed: <\/p>\n

En k:     a = Ik+1<\/sub> + Ak<\/sub> <\/sub>= Ck<\/sub> x i* + Ak
\n <\/sub>En k+1: a = Ik+2<\/sub> + Ak+1 <\/sub>= Ck+1<\/sub> x i* + Ak+1
\n                   ——————————————-            
\n <\/sub>             a – a = i* x (Ck<\/sub> <\/sub> – Ck+1<\/sub>) + Ak<\/sub> – Ak+1<\/sub><\/p>\n

siendo: Ck<\/sub> – Ck+1 <\/sub> = Ak+1<\/sub>, queda:<\/p>\n

0 = i* x Ak+1<\/sub> <\/sub>+ Ak<\/sub> – Ak+1<\/sub><\/p>\n

de donde se obtiene:<\/p>\n

Ak<\/sub> <\/sub> = Ak+1<\/sub> x (1 – i*)<\/p>\n

En definitiva, las cuotas de amortizaci\u00f3n en este tipo de pr\u00e9stamos siguen una progresi\u00f3n geom\u00e9trica decreciente de raz\u00f3n (1 \u2013 i*), empezando siempre por la \u00faltima cuota de principal, que coincide con el t\u00e9rmino amortizativo de ese \u00faltimo per\u00edodo de amortizaci\u00f3n del pr\u00e9stamo, pondremos todas a partir de la \u00faltima:<\/p>\n

Ak<\/sub> <\/sub> = An<\/sub> x (1 – i*)n-k<\/sup><\/p>\n

11.1.1.4. C\u00e1lculo del total amortizado despu\u00e9s de k per\u00edodos (mk<\/sub>)<\/h4>\n

Como en cualquier sistema amortizativo, el total amortizado se puede obtener de dos maneras posibles:<\/p>\n

    \n
  • Por diferencias entre capitales pendientes consecutivos:\n

    mk<\/sub> = C0<\/sub> \u2013 Ck<\/sub><\/p>\n<\/li>\n

  • Por suma de las cuotas de amortizaci\u00f3n practicadas:\n

    mk<\/sub> = A1<\/sub> + A2<\/sub> + \u2026 + Ak<\/sub><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n

      <\/p>\n

    \n

    EJEMPLO 14<\/strong><\/p>\n

    Construir el cuadro de amortizaci\u00f3n del siguiente pr\u00e9stamo:<\/p>\n

    \u2022 Importe: 300.000 euros.
    \n \u2022 Duraci\u00f3n: 3 a\u00f1os.
    \n \u2022 Tipo de inter\u00e9s: 10% anual prepagable.
    \n \u2022 T\u00e9rminos amortizativos anuales constantes. <\/p>\n

      <\/p>\n

    <\/p>\n

     <\/p>\n\n\n\n\n
    \n
    A\u00f1os
    \n <\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    T\u00e9rmino amortizativo <\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    Cuota de inter\u00e9s <\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    Cuota de amortizaci\u00f3n <\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    Total amortizado <\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    Capital vivo <\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
    \n
    0
    \n 1
    \n 2
    \n 3 <\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    30.000,00
    \n 110.701,11
    \n 110.701,11
    \n 110.701,10 <\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    30.000,00
    \n 21.033,21
    \n 11.070,11

    \n \u2013              <\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    \n 89.667,90
    \n 99.631,00
    \n 110.701,10 <\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    \n 89.667,90
    \n 189.289,90
    \n 300.000,00<\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    300.000,00
    \n 210.332,10
    \n 110.701,10\n <\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
    \n
    Total <\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    362.103,33 <\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    62.103,32 <\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    300.000,00<\/span><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
     <\/div>\n<\/td>\n
    		\n
     <\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

     <\/p>\n

      <\/p>\n

    Descripci\u00f3n de los pasos a seguir para construir el cuadro:<\/em><\/u><\/p>\n

    (1)<\/span> Se calcula el importe del pago total a realizar (t\u00e9rmino amortizativo) a trav\u00e9s de la f\u00f3rmula anterior. <\/p>\n

                            1 \u2013 (1 \u2013 0,1)3<\/sup>
    \n 300.000 = a x ——————-
    \n                                0,1<\/p>\n

    a = 110.701,11<\/p>\n

    (2) <\/span>Conocido el t\u00e9rmino amortizativo del \u00faltimo per\u00edodo, tambi\u00e9n se conoce la cuota de amortizaci\u00f3n de ese per\u00edodo (ya que coinciden al no tener intereses ese t\u00e9rmino).
    \n (3)<\/span> A su vez, la cuota de amortizaci\u00f3n del \u00faltimo per\u00edodo coincide con el capital vivo a principios del \u00faltimo per\u00edodo, y al aplicarle el tipo de inter\u00e9s se conocer\u00e1 la cuota de inter\u00e9s del a\u00f1o 3, que se safisface en el a\u00f1o 2.
    \n (4)<\/span> Del pago hecho en el a\u00f1o 2, ya se sabe cu\u00e1nto es inter\u00e9s (la cuota de inter\u00e9s del a\u00f1o 3) y el resto, por diferencia, se destina a amortizar (cuota de amortizaci\u00f3n del a\u00f1o 2).
    \n (5)<\/span> La deuda pendiente del pen\u00faltimo per\u00edodo ser\u00e1 la suma del capital pendiente en el per\u00edodo siguiente m\u00e1s la cuota de amortizaci\u00f3n del a\u00f1o 2.
    \n (6)<\/span> El resto del cuadro se realiza de la misma manera, hasta llegar al momento inicial donde solamente se pagan los intereses del primer per\u00edodo.<\/p>\n<\/div>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    En este caso los t\u00e9rminos amortizativos permanecen constantes, a1 = a2 = \u2026 = an = = a, manteni\u00e9ndose tambi\u00e9n constante el tipo de inter\u00e9s i* para todos los per\u00edodos. Adem\u00e1s habr\u00e1 que tener en cuenta un primer t\u00e9rmino en el origen que recoja los intereses prepagables del primer per\u00edodo. El esquema de la operaci\u00f3n […]<\/p>\n","protected":false},"author":27,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":4121,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n11.1. 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