La amortizaci\u00f3n se realiza por el nominal.<\/li>\n<\/ul>\nConsiderado globalmente es un pr\u00e9stamo con t\u00e9rminos amortizativos variables en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica.<\/p>\n
La estructura del t\u00e9rmino amortizativo en este empr\u00e9stito puro es:<\/p>\n
<\/p>\n
![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p427-01.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
Gr\u00e1ficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empr\u00e9stito de N1<\/sub> t\u00edtulos, de nominal c, cup\u00f3n peri\u00f3dico c x i, con una duraci\u00f3n de n per\u00edodos y t\u00e9rminos amortizativos variables en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica (ak<\/sub>), es el siguiente:<\/p>\n <\/p>\n
![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p427-02.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
3.4.1. Pasos a seguir<\/h3>\n 3.4.1.1. C\u00e1lculo de los t\u00e9rminos amortizativos (ak<\/sub>)<\/h4>\n Se plantear\u00e1 una equivalencia financiera en el origen de la operaci\u00f3n (momento 0) entre el importe nominal del empr\u00e9stito y la renta en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica formada por los t\u00e9rminos amortizativos, cuyo valor actual se pondr\u00e1 en funci\u00f3n del primer t\u00e9rmino y la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n.<\/p>\n
<\/p>\n
![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p427-03.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
La variable a calcular ser\u00e1 el primer t\u00e9rmino amortizativo (a1<\/sub>).<\/p>\n Una vez calculado el primer t\u00e9rmino amortizativo, el resto de ellos se calcular\u00e1n a trav\u00e9s de la ley de la progresi\u00f3n aritm\u00e9tica que siguen, as\u00ed:<\/p>\n
a2<\/sub> = a1<\/sub> + d
\n a3<\/sub> = a2<\/sub> + d = a1<\/sub> + 2d
\n \u2026
\n ak+1<\/sub> = ak<\/sub> + d = a1<\/sub> + k x d
\n \u2026
\n an<\/sub> = an-1<\/sub> + d = a1<\/sub> + (n \u2013 1) x d<\/p>\n 3.4.1.2. C\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados: ley de recurrencia (Mk<\/sub>)<\/h4>\n Para saber el n\u00famero de t\u00edtulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos proceder de dos formas alternativas:<\/p>\n
A) 1.\u00aa posibilidad: dando valores a k en la estructura del t\u00e9rmino amortizativo<\/p>\n
Conocida la cuant\u00eda del t\u00e9rmino a pagar en cada per\u00edodo (que previamente hemos calculado) y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cu\u00e1nto se destina a amortizar y, por tanto, cu\u00e1ntos t\u00edtulos se amortizar\u00e1n en cada momento. As\u00ed:<\/p>\n
\n\n| Per\u00edodo 1:<\/p>\n<\/td>\n | a1<\/sub> = c x i x N1<\/sub> + c x M1<\/sub>
\nc x M1<\/sub> = a1<\/sub> \u2013 c x i x N1<\/sub>
\n a1<\/sub> \u2013 c x i x N1<\/sub>
\nM1<\/sub> = ———————
\n c<\/td>\n<\/tr>\n\n| Per\u00edodo 2:<\/p>\n <\/td>\n | a2<\/sub> = c x i x N2<\/sub> + c x M2<\/sub>
\nc x M2<\/sub> = a2<\/sub> \u2013 c x i x (N1<\/sub> \u2013 M1<\/sub>)
\n a2<\/sub> \u2013 c x i x (N1<\/sub> \u2013 M1<\/sub>)
\nM2<\/sub> = —————————-
\n c<\/td>\n<\/tr>\n\n| \u2026<\/td>\n | <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Procediendo de la misma forma, completar\u00edamos el c\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados en cada sorteo. <\/p>\n B) 2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la ley de recurrencia que siguen los t\u00edtulos amortizados<\/p>\n La ley de recurrencia se obtiene al relacionar, por diferencias, los t\u00e9rminos amortizativos de dos per\u00edodos consecutivos cualesquiera, as\u00ed:<\/p>\n <\/p>\n \n\n| Per\u00edodo k: <\/td>\n | \na k<\/sub> = c x i x Nk<\/sub> + c x Mk<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n\n| Per\u00edodo k+1: <\/td>\n | \na k+1<\/sub> = c x i x Nk+1<\/sub> + c x Mk+1<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n\n| <\/td>\n | \n—————————————————————-<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n \n| <\/td>\n | \na k<\/sub> \u2013 ak+1<\/sub> = c x i x (Nk<\/sub> \u2013 Nk+1<\/sub>) + c x Mk<\/sub> \u2013 c x Mk+1<\/sub><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n simplificando ambos miembros, sabiendo que ak+1<\/sub> = ak<\/sub> + d y Nk<\/sub> \u2013 Nk+1<\/sub> = Mk<\/sub>:<\/p>\n \u2013 d = c x i x Mk<\/sub> + c x Mk<\/sub> \u2013 c x Mk+1<\/sub><\/p>\n de donde se obtiene:<\/p>\n d
\n Mk+1<\/sub> = Mk<\/sub> x (1 + i) + —-
\n c<\/p>\nExpresi\u00f3n que permite conocer a partir de los t\u00edtulos amortizados en el sorteo anterior los que corresponde amortizar en el presente. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier Mk a partir de M1, la expresi\u00f3n a aplicar ser\u00e1:<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p429-01.png\") <\/p>\n
<\/p>\n 3.4.1.3. C\u00e1lculo del total de t\u00edtulos amortizados (mk<\/sub>)<\/h4>\nLos t\u00edtulos amortizados en un momento de tiempo concreto se calculan de dos formas posibles:<\/p>\n \n- Por diferencias, entre el n\u00famero de t\u00edtulos emitidos y los que a\u00fan est\u00e1n en circulaci\u00f3n:\n
mk<\/sub> = N1<\/sub> \u2013 Nk+1<\/sub>\n <\/li>\n- Por suma de los t\u00edtulos amortizados hasta la fecha:\n
mk<\/sub> = M1<\/sub> + M2<\/sub> + \u2026 + Mk<\/sub><\/li>\n<\/ul>\n3.4.1.4. C\u00e1lculo de t\u00edtulos vivos a principio de cada per\u00edodo (Nk+1<\/sub>)<\/h4>\n Podemos plantear este c\u00e1lculo de varias formas:<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p430-01.png\") <\/p>\n
<\/p>\n A) 1.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de los t\u00edtulos amortizados<\/p>\n \n- M\u00e9todo retrospectivo: considerando t\u00edtulos ya amortizados.\n
Nk+1<\/sub> = N1<\/sub> \u2013 [M1<\/sub> + M2<\/sub> + \u2026 + Mk<\/sub>] = N1<\/sub> \u2013 mk<\/sub><\/p>\n<\/li>\n- M\u00e9todo prospectivo: considerando los t\u00edtulos pendientes de amortizar.\n
Nk+1<\/sub> = Mk+1<\/sub> + Mk+2<\/sub> + \u2026 + Mn<\/sub><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\nB) 2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de t\u00e9rminos amortizativos<\/p>\n Al trabajar con los t\u00e9rminos amortizativos se deber\u00e1 hacer de forma financiera (no bastar\u00e1 con sumar y restar aritm\u00e9ticamente, como en el caso anterior) puesto que los t\u00e9rminos incorporan intereses y principal; habr\u00e1 que mover financieramente las cantidades correspondientes.<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p431-01.png\") <\/p>\n
<\/p>\n \u2022 M\u00e9todo retrospectivo: considerando t\u00e9rminos amortizativos pasados.<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p431-02.png\") <\/p>\n
<\/p>\n en K:
\n Lo que se supondr\u00eda la amortizaci\u00f3n anticipada en k = [lo recibido \u2013 lo pagado]k<\/sub><\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p431-03.png\") <\/p>\n
<\/p>\n de donde se despejar\u00eda el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n en ese momento: Nk+1<\/sub>.<\/p>\n\u2022 M\u00e9todo prospectivo: considerando t\u00e9rminos amortizativos futuros.<\/em><\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p431-04.png\") <\/p>\n en K:<\/p>\n lo que se supondr\u00eda la amortizaci\u00f3n anticipada <\/p>\n en k = cantidades pendientes de pagar]k<\/sub><\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p432-01.png\") <\/p>\n
<\/p>\n de donde se despejar\u00eda el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n en ese momento: Nk+1<\/sub>:<\/p>\n3.4.1.5. C\u00e1lculo del importe a pagar de cupones en el per\u00edodo k+1<\/h4>\n Los intereses de cualquier per\u00edodo se calcular\u00e1n a partir de los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n a principios de ese per\u00edodo, a los que se les entregar\u00e1 el cup\u00f3n acordado (c x i).<\/p>\n Per\u00edodo k+1: c x i x Nk+1<\/sub><\/p>\n <\/p>\n \n EJEMPLO 9 <\/strong><\/p>\nSe emite el siguiente empr\u00e9stito:<\/p>\n \n- T\u00edtulos emitidos: 50.000.<\/li>\n
- Nominal t\u00edtulo: 1.000 euros.<\/li>\n
- Cup\u00f3n anual: 130 euros.<\/li>\n
- Sorteos anuales y amortizaci\u00f3n por el nominal.<\/li>\n
- Duraci\u00f3n: 4 a\u00f1os.<\/li>\n
- Anualidades aumentando: 300.000 euros\/a\u00f1o.<\/li>\n<\/ul>\n
Se pide:<\/p>\n Construir el cuadro de amortizaci\u00f3n.<\/p>\n Soluci\u00f3n:<\/p>\n Es un empr\u00e9stito puro de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad variable en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de raz\u00f3n 300.000 euros. Por tanto, la estructura del t\u00e9rmino amortizativo ser\u00e1:<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p433-01.png\") <\/p>\n
<\/p>\n Gr\u00e1ficamente:<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p433-02.png\") <\/p>\n
<\/p>\n C\u00e1lculo de las anualidades<\/p>\n Se plantea la equivalencia en origen entre el nominal del empr\u00e9stito y el valor actualizado de los t\u00e9rminos que lo amortizan y se despeja el primer t\u00e9rmino amortizativo.<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p433-03.png\") <\/p>\n
<\/p>\n Una vez calculada la primera anualidad podremos conocer las restantes y, a partir de \u00e9stas, podremos ir calculando a\u00f1o a a\u00f1o los t\u00edtulos que se amortizan en cada sorteo.<\/p>\n a1<\/sub> = 16.405.348,62
\n a2<\/sub> = a1<\/sub> + 300.000 = 16.705.348,62
\n a3<\/sub> = a2<\/sub> + 300.000 = 17.005.348,62
\n a4<\/sub> = a3<\/sub> + 300.000 = 17.305.348,62<\/p>\n <\/p>\n \n\n\n<\/div>\n<\/td>\n \n(1)
\n <\/span><\/div>\n<\/td>\n\n(2)<\/span><\/div>\n<\/td>\n\n (3) <\/span><\/div>\n<\/td>\n\n(4) = (1) x 130 <\/span><\/div>\n<\/td>\n\n(5) = (2) x 1.000 <\/span><\/div>\n<\/td>\n\n(6) = (4) + (5)<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n\n\nA\u00f1o
\n <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nT\u00edtulos vivos <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nT\u00edtulos amortiz. <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nTotal t\u00edt. amort. <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nIntereses <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nAmortizaci\u00f3n <\/span><\/div>\n<\/td>\n\nT\u00e9rmino amortizativo<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n\n\n1 \n 2 \n 3 \n 4<\/div>\n<\/td>\n \n50.000 \n 40.095 \n 28.602 \n 15.315<\/div>\n<\/td>\n \n9.905 \n 11.493 \n 13.287 \n 15.315<\/div>\n<\/td>\n \n9.905 \n 21.398 \n 34.685 \n 50.000<\/div>\n<\/td>\n \n6.500.000 \n 5.212.350 \n 3.718.260 \n 1.990.950<\/div>\n<\/td>\n \n9.905.000 \n 11.493.000 \n 13.287.000 \n 15.315.000<\/div>\n<\/td>\n \n16.405.000 \n 16.705.350 \n 17.005.260 \n 17.305.950<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n <\/p>\n (1)
\n Para obtener los t\u00edtulos que se amortizan en cada sorteo se dar\u00e1n valores a la anualidad, empezando por la primera:<\/p>\n <\/p>\n ![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p434-01.png\") <\/p>\n
Tambi\u00e9n se podr\u00eda haber empleado la ley de recurrencia para calcular los Mk<\/sub>, una vez calculado M1<\/sub>:<\/p>\n![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p434-02.PNG\") <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante con anualidad variable en progresi\u00f3n - Blog de ADE","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-4-emprestito-cupon-periodico-constante-con-anualidad-variable-progresion-html\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"3.4. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante con anualidad variable en progresi\u00f3n - Blog de ADE","og_description":"Este empr\u00e9stito se caracteriza porque: Los t\u00e9rminos amortizativos var\u00edan en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica. El tanto de valoraci\u00f3n y raz\u00f3n de la progresi\u00f3n permanecen constantes, durante toda la operaci\u00f3n. El cup\u00f3n es constante y se paga peri\u00f3dicamente por vencido a los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n. 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