{"id":1965,"date":"2016-07-15T12:08:22","date_gmt":"2016-07-15T12:08:22","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=1965"},"modified":"2016-07-15T12:09:19","modified_gmt":"2016-07-15T12:09:19","slug":"3-3-emprestito-cupon-periodico-anualidades-progresion-geometrica-html","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-3-emprestito-cupon-periodico-anualidades-progresion-geometrica-html\/","title":{"rendered":"3.3. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico y anualidades en progresi\u00f3n geom\u00e9trica"},"content":{"rendered":"<p>En principio, bastar\u00eda con normalizar el empr\u00e9stito y trabajar con los t\u00e9rminos amortizativos normalizados y con el tanto normalizado, como se realiza con los anteriores empr\u00e9stitos. No obstante, puede ocurrir que, como consecuencia de la normalizaci\u00f3n, los t\u00e9rminos amortizativos normalizados no sigan una progresi\u00f3n geom\u00e9trica o que cambie la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n. <\/p>\n<p>Para evitar este tipo de problemas procederemos siempre de la misma forma, aunque puede ocurrir que las caracter\u00edsticas que existan no afecten a la progresi\u00f3n y en consecuencia baste con normalizar y emplear las anualidades normalizadas y el tanto normalizado sin m\u00e1s en las f\u00f3rmulas del empr\u00e9stito puro:<\/p>\n<ol>\n<li> Construir la estructura del t\u00e9rmino amortizativo (a<sub>k<\/sub>), recogiendo todas las caracter\u00edsticas que le afecten.<\/li>\n<li> Normalizar, obteniendo el t\u00e9rmino normalizado (a&#8217;<sub>k<\/sub>) y el tanto normalizado (i&#8217;).<\/li>\n<li> Como el t\u00e9rmino normalizado puede que no siga ning\u00fan tipo de ley, evitaremos trabajar con rentas y lo haremos con sumatorios y se plantear\u00e1 la equivalencia financiera entre el nominal del empr\u00e9stito y los t\u00e9rminos normalizados actualizados al tanto normalizado.<\/li>\n<li> Se sustituir\u00e1 en el sumatorio el t\u00e9rmino amortizativo normalizado (a&#8217;<sub>k<\/sub>), por su valor.<\/li>\n<li> Lo que multiplique o divida al a<sub>k<\/sub>, al ser constante, se podr\u00e1 extraer del sumatorio.<\/li>\n<li> Si hubiera alg\u00fan t\u00e9rmino que se sumara o restara al a<sub>k<\/sub> (lotes), el sumatorio se descompondr\u00e1 en dos sumatorios.<\/li>\n<li> Los sumatorios se convertir\u00e1n en valores actuales de rentas (constantes o variables).<\/li>\n<li> Se despejar\u00e1 el primer t\u00e9rmino amortizativo (a<sub>1<\/sub>).<\/li>\n<\/ol>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"ejemplo\">\n<p><strong>EJEMPLO 8 <\/strong><\/p>\n<p>Se emite el siguiente empr\u00e9stito:<\/p>\n<ul>\n<li> T\u00edtulos emitidos: 100.000.<\/li>\n<li> Nominal t\u00edtulo: 1.000 euros.<\/li>\n<li> Inter\u00e9s anual: 12%.<\/li>\n<li> Duraci\u00f3n: 10 a\u00f1os.<\/li>\n<li> Sorteos anuales, amortiz\u00e1ndose los t\u00edtulos con prima de 400 euros.<\/li>\n<li> Premio de 800 euros para cada uno de los 50 primeros t\u00edtulos amortizados cada a\u00f1o.<\/li>\n<li> Anualidades comerciales variables en progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n 1,10.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"progress\">Se pide:<\/p>\n<ul>\n<li> Anualidad del sexto a\u00f1o.<\/li>\n<li> T\u00edtulos amortizados en el segundo a\u00f1o.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"progress\">Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Es un empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad variable en progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n 1,10, con prima de amortizaci\u00f3n constante y un lote anual de 40.000 euros (800 x 50). Sabido todo esto, los pasos a seguir son:<\/p>\n<ol>\n<li><em>  Estructura de la anualidad te\u00f3rica\n<p>\n      <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p423-01.png\" width=\"441\" height=\"51\" \/><br \/>\n    <\/em><\/li>\n<li><em>Normalizaci\u00f3n<br \/>\n    <\/em><br \/>\n    a<sub>k<\/sub> \u2013 L = c x i x N<sub>k<\/sub> + (c + p) x M<sub>k<\/sub><br \/>\n      &nbsp;&nbsp;a<sub>k<\/sub> \u2013 L&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; i<br \/>\n      &#8212;&#8212;&#8212;- = c x &#8212;&#8212;&#8212; x N<sub>k<\/sub> + M<sub>k<\/sub><br \/>\n      &nbsp;&nbsp;c + p&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; c + p<br \/>\n      &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a<sub>k<\/sub> \u2013 L &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c x i<br \/>\n      c x &#8212;&#8212;&#8212;- = c x &#8212;&#8212;&#8212;- x N<sub>k<\/sub> + c x M<sub>k<\/sub><br \/>\n      &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c + p &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c + p<\/p>\n<p>      Siendo:<\/p>\n<p>      &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a<sub>k<\/sub> \u2013 L<br \/>\n      a&#8217; = c x &#8212;&#8212;&#8212;&#8212; <br \/>\n      &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c + p<br \/>\n      &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c x i &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;120<br \/>\n      i&#8217; = &#8212;&#8212;&#8212;- = &#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211; = 0,0857143<br \/>\n      &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c + p &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1.000 + 400<\/p>\n<p>      Resulta el empr\u00e9stito normalizado:<\/p>\n<p>      a&#8217;<sub>k<\/sub> = c x i&#8217; x N<sub>k<\/sub> + c x M<sub>k<\/sub><\/p>\n<p>      Gr\u00e1ficamente:<\/p>\n<p>      <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p424-01.png\" width=\"452\" height=\"141\" \/>      \n    <\/li>\n<li> Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empr\u00e9stito y las anualidades te\u00f3ricas normalizadas trabajando con sumatorios\n<p>      <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p424-02.png\" width=\"191\" height=\"61\" \/>\n  <\/li>\n<li> Sustituci\u00f3n de la anualidad normalizada por el valor obtenido en la normalizaci\u00f3n\n<p>      <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p424-03.png\" width=\"213\" height=\"91\" \/>\n  <\/li>\n<li> Extracci\u00f3n del sumatorio de aquello que multiplique y\/o divida en el numerador\n<p>      <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p424-04.png\" width=\"262\" height=\"59\" \/>\n  <\/li>\n<li> Separaci\u00f3n del sumatorio en dos sumatorios parciales con igual denominador\n<p>      <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p424-05.png\" width=\"409\" height=\"72\" \/>\n    <\/li>\n<li> Conversi\u00f3n de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de renta\n<p>      <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p425-01.png\" width=\"344\" height=\"49\" \/>\n  <\/li>\n<li> Sustituci\u00f3n en la expresi\u00f3n por valores num\u00e9ricos y despeje de a<sub>1<\/sub>\n<p>      <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p425-02.png\" width=\"434\" height=\"90\" \/>\n    <\/li>\n<\/ol>\n<p class=\"progress\">Anualidad del sexto a\u00f1o<\/p>\n<p> a<sub>6<\/sub> = a<sub>1<\/sub> x 1,15 = 23.108.122,05<\/p>\n<p class=\"progress\"> T\u00edtulos amortizados en el segundo a\u00f1o<\/p>\n<p><em> 1.\u00aa posibilidad: empezando desde el principio y calculando todos los t\u00edtulos amortizados a\u00f1o tras a\u00f1o<\/em><\/p>\n<table width=\"532\" border=\"0\" align=\"left\" cellpadding=\"0\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"51\">\n<p>A\u00f1o 1 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<\/p>\n<p>\n  <\/p>\n<\/td>\n<td width=\"480\">a<sub>1<\/sub> = c x i x N<sub>1<\/sub> + (c + p) x M<sub>1<\/sub> + L <br \/>\n14.348.325,71 = 120 x 100.000 + 1.400 x M<sub>1<\/sub> + 40.000<br \/>\nM<sub>1<\/sub> = 1.648,80<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>A\u00f1o 2 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<\/p>\n<\/td>\n<td>a<sub>2<\/sub> = c x i x N<sub>2<\/sub> + (c + p) x M<sub>2<\/sub> + L<br \/>\n          a<sub>1<\/sub> x 1,1 = c x i x (N<sub>1<\/sub> \u2013 M<sub>1<\/sub>) + (c + p) x M<sub>2<\/sub> + L<br \/>\n14.348.325,71 x 1,1 = 120 x (100.000 \u2013 1.648,80) + 1.400 x M<sub>2<\/sub> + 40.000<br \/>\nM<sub>2<\/sub> = 2.815,01<br \/>\n<span class=\"progress\">M<sub>2<\/sub> = 2.815<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><em>2.\u00aa posibilidad: calculando previamente los t\u00edtulos vivos del per\u00edodo y despejando de la anualidad los t\u00edtulos amortizados<\/em><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p426-01.png\" width=\"488\" height=\"281\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>El primer sistema resulta m\u00e1s interesante cuando nos encontramos cerca del origen (como en este ejercicio). Sin embargo, cuando se hayan realizado varios sorteos resultar\u00e1 m\u00e1s r\u00e1pido el segundo m\u00e9todo, pues se evita tener que calcular, uno a uno, todos los sorteos ya efectuados. <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En principio, bastar\u00eda con normalizar el empr\u00e9stito y trabajar con los t\u00e9rminos amortizativos normalizados y con el tanto normalizado, como se realiza con los anteriores empr\u00e9stitos. No obstante, puede ocurrir que, como consecuencia de la normalizaci\u00f3n, los t\u00e9rminos amortizativos normalizados no sigan una progresi\u00f3n geom\u00e9trica o que cambie la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n. 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