{"id":1961,"date":"2016-07-15T12:04:07","date_gmt":"2016-07-15T12:04:07","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=1961"},"modified":"2016-07-15T12:05:20","modified_gmt":"2016-07-15T12:05:20","slug":"3-2-emprestito-cupon-periodico-constante-con-anualidad-variable-progresion-html","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/3-2-emprestito-cupon-periodico-constante-con-anualidad-variable-progresion-html\/","title":{"rendered":"3.2. Empr\u00e9stito de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante con anualidad variable en progresi\u00f3n"},"content":{"rendered":"<p>Este empr\u00e9stito se caracteriza porque:<\/p>\n<ul>\n<li> Los t\u00e9rminos amortizativos var\u00edan en progresi\u00f3n geom\u00e9trica.<\/li>\n<li> El tanto de valoraci\u00f3n y la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n permanecen constantes, durante toda la vida del empr\u00e9stito.<\/li>\n<li> El cup\u00f3n es constante y se paga peri\u00f3dicamente y por vencido a los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n.<\/li>\n<li> Los t\u00edtulos se amortizan por el nominal.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Considerado globalmente, el empr\u00e9stito es un pr\u00e9stamo con t\u00e9rminos amortizativos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica.<br \/>\nLa estructura del t\u00e9rmino amortizativo de este empr\u00e9stito ser\u00e1:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p412-01.png\" width=\"344\" height=\"68\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p> Gr\u00e1ficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empr\u00e9stito de N<sub>1<\/sub> t\u00edtulos, de nominal c, cup\u00f3n peri\u00f3dico c x i, con una duraci\u00f3n de n per\u00edodos y t\u00e9rminos amortizativos variables (a<sub>k<\/sub>), es el siguiente:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p412-02.png\" width=\"549\" height=\"171\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3> 3.2.1. Pasos a seguir<\/h3>\n<h4> 3.2.1.1. C\u00e1lculo de los t\u00e9rminos amortizativos (a<sub>k<\/sub>)<\/h4>\n<p> Se plantear\u00e1 una equivalencia financiera en el origen de la operaci\u00f3n (momento 0) entre el importe nominal del empr\u00e9stito y la renta en progresi\u00f3n geom\u00e9trica formada por los t\u00e9rminos amortizativos, cuyo valor actual se pondr\u00e1 en funci\u00f3n del primer t\u00e9rmino (desconocido) y la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n (conocida).<\/p>\n<p> Al desarrollar la equivalencia pueden darse dos casos, seg\u00fan la relaci\u00f3n entre la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n que siguen los t\u00e9rminos y el tipo de inter\u00e9s del cup\u00f3n:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p413-01.png\" width=\"435\" height=\"230\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p> En ambos casos la variable a calcular es el primer t\u00e9rmino amortizativo (a<sub>1<\/sub>).<\/p>\n<p>Una vez calculado el primer t\u00e9rmino amortizativo, el resto de ellos se calcular\u00e1n a trav\u00e9s de la progresi\u00f3n que siguen, as\u00ed:<\/p>\n<p>a<sub>2<\/sub> = a<sub>1<\/sub> x q<br \/>\n    a<sub>3<\/sub> = a<sub>2<\/sub> x q = a<sub>1<\/sub> x q<sup>2<\/sup><br \/>\n    \u2026<br \/>\n    a<sub>k+1<\/sub> = a<sub>k<\/sub> x q = a<sub>1<\/sub> x q<sup>k<\/sup><br \/>\n    \u2026<br \/>\n    a<sub>n<\/sub> = a<sub>n-1<\/sub> x q = a<sub>1<\/sub> x q<sup>n-1<\/sup><\/p>\n<h4>3.2.1.2. C\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados: ley de recurrencia (M<sub>k<\/sub>)<\/h4>\n<p> Para saber el n\u00famero de t\u00edtulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos proceder de dos formas alternativas:<\/p>\n<p>A)<br \/>\n1.\u00aa posibilidad: dando valores a k en la estructura del t\u00e9rmino amortizativo<\/p>\n<p> Conocida la cuant\u00eda del t\u00e9rmino a pagar en cada per\u00edodo (que previamente hemos calculado) y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cu\u00e1nto se destina a amortizar y, por tanto, cu\u00e1ntos t\u00edtulos se amortizar\u00e1n en cada momento. As\u00ed:<\/p>\n<p> Per\u00edodo 1: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a<sub>1<\/sub> = c x i x N<sub>1<\/sub> + c x M<sub>1<\/sub><br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c x M<sub>1<\/sub> = a<sub>1<\/sub> \u2013 c x i x N<sub>1<\/sub><br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a<sub>1<\/sub> \u2013 c x i x N<sub>1<\/sub><br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;M<sub>1<\/sub> = &#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;-<br \/>\n  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;c<\/p>\n<p>Per\u00edodo 2:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a<sub>2<\/sub> = c x i x N<sub>2<\/sub> + c x M<sub>2<\/sub><br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c x M<sub>2<\/sub> = a<sub>2<\/sub> \u2013 c x i x (N<sub>1<\/sub> \u2013 M<sub>1<\/sub>)<br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a<sub>2<\/sub> \u2013 c x i x (N<sub>1<\/sub> \u2013 M<sub>1<\/sub>)<br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;M<sub>2<\/sub> =&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;<br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c<br \/>\n  \u2026<\/p>\n<p> Procediendo de la misma forma, completar\u00edamos el c\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados en cada sorteo. <\/p>\n<p> B)<br \/>\n2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la ley de recurrencia que siguen los t\u00edtulos amortizados<\/p>\n<p> La ley de recurrencia se obtiene al relacionar por diferencias los t\u00e9rminos amortizativos de dos per\u00edodos consecutivos cualesquiera, as\u00ed:<\/p>\n<p>Per\u00edodo k: a<sub>k<\/sub> = c x i x N<sub>k<\/sub> + c x M<sub>k<\/sub><br \/>\n    Per\u00edodo k+1: a<sub>k+1<\/sub> = c x i x N<sub>k+1<\/sub> + c x M<sub>k+1<\/sub><br \/>\n    &#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;-<br \/>\n    <br \/>\n    a<sub>k<\/sub> \u2013 a<sub>k+1<\/sub> = c x i x (N<sub>k<\/sub> \u2013 N<sub>k+1<\/sub>) + c x M<sub>k<\/sub> \u2013 c x M<sub>k+1<\/sub><\/p>\n<p>simplificando ambos miembros, sabiendo que a<sub>k+1<\/sub> = a<sub>k<\/sub> x q y N<sub>k <\/sub>\u2013 N<sub>k+1<\/sub> = M<sub>k<\/sub>:<\/p>\n<p> a<sub>k<\/sub> x (1 \u2013 q) = c x i x M<sub>k<\/sub> + c x M<sub>k<\/sub> \u2013 c x M<sub>k+1<\/sub><\/p>\n<p>de donde, dividiendo por c y despejando M<sub>k+1<\/sub>, se obtiene:<\/p>\n<p> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ak<br \/>\n    M<sub>k+1<\/sub> = M<sub>k<\/sub> x (1 + i) \u2013 &#8212;&#8212; x (1 \u2013 q)<br \/>\n    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c<\/p>\n<p>Expresi\u00f3n que permite conocer a partir de los t\u00edtulos amortizados en el sorteo anterior los que corresponde amortizar en el presente.<\/p>\n<h4>3.2.1.3. C\u00e1lculo del total de t\u00edtulos amortizados (m<sub>k<\/sub>)<\/h4>\n<p> Los t\u00edtulos amortizados en un momento de tiempo concreto se calculan de dos formas posibles:<\/p>\n<p> \u2022 Por diferencias, entre el n\u00famero de t\u00edtulos emitidos y los que a\u00fan est\u00e1n en circulaci\u00f3n:<\/p>\n<p>m<sub>k<\/sub> = N<sub>1<\/sub> \u2013 N<sub>k+1<\/sub><\/p>\n<p> \u2022 Por suma de los t\u00edtulos amortizados hasta la fecha:<\/p>\n<p> m<sub>k<\/sub> = M<sub>1<\/sub> + M<sub>2<\/sub> + \u2026 + M<sub>k<\/sub><\/p>\n<h4> 3.2.1.4. C\u00e1lculo de t\u00edtulos vivos a principio de cada per\u00edodo (N<sub>k+1<\/sub>)<\/h4>\n<p> Podemos plantear este c\u00e1lculo de varias formas:<\/p>\n<p>&nbsp; <\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p416-01.png\" width=\"551\" height=\"172\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p> A) 1.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de los t\u00edtulos amortizados<\/p>\n<p> \u2022 M\u00e9todo retrospectivo: considerando t\u00edtulos ya amortizados:<\/p>\n<p>N<sub>k+1<\/sub> = N<sub>1<\/sub> \u2013 [M<sub>1<\/sub> + M<sub>2<\/sub> + \u2026 + M<sub>k<\/sub>] = N<sub>1<\/sub> \u2013 m<sub>k<\/sub><\/p>\n<p> \u2022 M\u00e9todo prospectivo: considerando los t\u00edtulos pendientes de amortizar:<\/p>\n<p>N<sub>k+1<\/sub> = M<sub>k+1<\/sub> + M<sub>k+2<\/sub> + \u2026 + M<sub>n<\/sub><\/p>\n<p>B) 2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de t\u00e9rminos amortizativos<\/p>\n<p> Al trabajar con los t\u00e9rminos amortizativos se deber\u00e1n hacer de forma financiera (no bastar\u00e1 con sumar y restar aritm\u00e9ticamente, como en el caso anterior) puesto que los t\u00e9rminos incorporan intereses y valor de reembolso; habr\u00e1 que mover financieramente las cantidades correspondientes.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p416-02.png\" width=\"534\" height=\"173\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>\u2022 M\u00e9todo retrospectivo: considerando <em>t\u00e9rminos amortizativos<\/em> pasados.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p417-01.png\" width=\"498\" height=\"185\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p> Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido (k) entre lo que le supone al emisor amortizar de una sola vez los t\u00edtulos a\u00fan en circulaci\u00f3n (amortizaci\u00f3n anticipada) y lo que a\u00fan debe (la diferencia entre lo que el emisor recibi\u00f3 en la emisi\u00f3n y lo que hasta la fecha ya ha pagado):<br \/>\n  en K:<\/p>\n<p> Lo que se supondr\u00eda la amortizaci\u00f3n anticipada <\/p>\n<p>en k = [lo recibido \u2013 lo pagado]<sub>k<\/sub><\/p>\n<p> es decir:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p417-02.png\" width=\"393\" height=\"35\" \/><\/p>\n<p> de donde se despejar\u00eda el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n en ese momento: N<sub>k+1<\/sub>.<\/p>\n<p>\u2022 M\u00e9todo prospectivo: considerando <em>t\u00e9rminos amortizativos<\/em> futuros.<\/p>\n<p>&nbsp; <\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p417-03.png\" width=\"469\" height=\"178\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p> Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido entre lo que supone amortizar de una sola vez los t\u00edtulos a\u00fan en circulaci\u00f3n (amortizaci\u00f3n anticipada) y lo que deber\u00eda seguir pagando el emisor en caso de continuar con el empr\u00e9stito hasta el final:<br \/>\n  en K:<\/p>\n<p> Lo que se supondr\u00eda la amortizaci\u00f3n anticipada <\/p>\n<p>en k = [cantidades pendientes de pagar]<sub>k<\/sub> <\/p>\n<p> es decir:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p418-01.png\" width=\"253\" height=\"43\" \/><\/p>\n<p> de donde se despejar\u00eda el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n en ese momento: N<sub>k+1<\/sub>.<\/p>\n<h4>3.2.1.5. C\u00e1lculo del importe a pagar de cupones en el per\u00edodo k+1<\/h4>\n<p> Los intereses de cualquier per\u00edodo se calcular\u00e1n a partir de los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n a principios de ese per\u00edodo, a los que se les entregar\u00e1 el cup\u00f3n acordado (c x i).<\/p>\n<p> Per\u00edodo k+1: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c x i x N<sub>k+1<\/sub><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"ejemplo\">\n<p><strong>EJEMPLO 7 <\/strong><\/p>\n<p>Se emite el siguiente empr\u00e9stito:<\/p>\n<ul>\n<li> T\u00edtulos emitidos: 10.000.<\/li>\n<li> Nominal t\u00edtulo: 1.000 euros.<\/li>\n<li> Inter\u00e9s anual: 12%.<\/li>\n<li> Duraci\u00f3n: 5 a\u00f1os.<\/li>\n<li> Anualidades aumentando un 12% anual de manera acumulativa.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"progress\">Se pide:<\/p>\n<ul>\n<li> Anualidades del empr\u00e9stito.<\/li>\n<li> Cuadro de amortizaci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"progress\">Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p> Es un empr\u00e9stito puro de cup\u00f3n peri\u00f3dico constante y anualidad variable en progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n 1,12. Por tanto, la estructura del t\u00e9rmino amortizativo ser\u00e1:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p419-01.png\" width=\"469\" height=\"65\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p class=\"progress\"> C\u00e1lculo de las anualidades<\/p>\n<p> Se plantea la equivalencia en origen entre el nominal del empr\u00e9stito y el valor actualizado de los t\u00e9rminos que lo amortizan.<\/p>\n<p>Gr\u00e1ficamente:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p419-02.png\" width=\"470\" height=\"132\" \/> <\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p419-03.png\" width=\"446\" height=\"101\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p> Una vez calculada la primera anualidad podremos conocer las restantes y, a partir de \u00e9stas, podremos ir calculando a\u00f1o a a\u00f1o los t\u00edtulos que se amortizan en cada sorteo.<\/p>\n<p>a<sub>1<\/sub> = 2.240.000,00<br \/>\n      a<sub>2<\/sub> = a<sub>1<\/sub> x 1,12 = 2.508.800,00<br \/>\n      a<sub>3<\/sub> = a<sub>2<\/sub> x 1,12 = 2.809.856,00<br \/>\n      a<sub>4<\/sub> = a<sub>3<\/sub> x 1,12 = 3.147.038,72<br \/>\n      a<sub>5<\/sub> = a<sub>4<\/sub> x 1,12 = 3.524.683,37<\/p>\n<p class=\"progress\">C\u00e1lculo del cuadro de amortizaci\u00f3n<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table width=\"510\" height=\"148\" border=\"1\" align=\"center\" cellpadding=\"0\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td><span class=\"progress\">&nbsp;<br \/>\n        <\/span><\/p>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">\n      <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">(1) <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">(2) <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">(3) <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">(4) =<br \/>\n   (1) x 120  <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">(5) = (2) x 1.000<\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">(6) = (4) + (5)<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">A\u00f1o <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">T\u00edtulos vivos<\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">T\u00edtulos amortiz. <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">Total t\u00edt. amort. <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">Intereses <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">Amortizaci\u00f3n <\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"center\" class=\"progress\">T\u00e9rmino amortizativo \n      <\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div align=\"center\">1<br \/>\n          2<br \/>\n  3<br \/>\n  4<br \/>\n  5<\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"right\">10.000<br \/> <br \/>\n        8.960<br \/> <br \/>\n      7.527<br \/>\n      5.620<br \/>\n      3.147<\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"right\">1.040<br \/>\n        1.433<br \/>\n      1.907<br \/> <br \/>\n      2.473<br \/> <br \/>\n      3.147<\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"right\">1.040<br \/> <br \/>\n        2.473<br \/> <br \/>\n      4.380<br \/> <br \/>\n      6.853<br \/> <br \/>\n      10.000<\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"right\">1.200.000<br \/>\n        1.075.200<br \/>\n      903.240<br \/> <br \/>\n      674.400<br \/> <br \/>\n      377.640<\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"right\">1.040.000<br \/>\n      1.433.000<br \/>\n      1.907.000<br \/>\n      2.473.000<br \/> <br \/>\n      3.147.000<\/div>\n<\/td>\n<td>\n<div align=\"right\">2.240.000<br \/>\n      2.508.200<br \/>\n      2.810.240<br \/> <br \/>\n      3.147.400<br \/> <br \/>\n      3.524.640<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>\n    (2)<br \/>\n  Para obtener los t\u00edtulos que se amortizan en cada sorteo le iremos dando valores a la anualidad, empezando por la primera:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table border=\"0\" cellpadding=\"5\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td>A\u00f1o 1:<\/p>\n<p><\/td>\n<td>a<sub>1<\/sub> = c x i x N<sub>1<\/sub> + c x M<sub>1<\/sub><br \/>\n2.240.000 = 120 x 10.000 + 1.000 x M<sub>1<\/sub><br \/>\nM<sub>1<\/sub> = 1.040<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>A\u00f1o 2: <\/p>\n<p><\/td>\n<td>a<sub>2<\/sub> = c x i x N<sub>2<\/sub> + c x M<sub>2<\/sub><br \/>\n2.508.800 = 120 x (10.000 \u2013 1.040) + 1.000 x M<sub>2<\/sub><br \/>\nM<sub>2<\/sub> = 1.433,60<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>A\u00f1o 3:<\/p>\n<p><\/td>\n<td>a<sub>3<\/sub> = c x i x N<sub>3<\/sub> + c x M<sub>3<\/sub><br \/>\n2.809.856 = 120 x (10.000 \u2013 1.040 \u2013 1.433,60) + 1.000 x M<sub>3<\/sub><br \/>\nM<sub>3<\/sub> = 1.906,69 <\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>A\u00f1o 4: <\/p>\n<p><\/td>\n<td>a<sub>4<\/sub> = c x i x N<sub>4<\/sub> + c x M<sub>4<\/sub><br \/>\n3.147.038,72 = 120 x (10.000 \u2013 1.040 \u2013 1.433,60 \u2013 1.906,69) + 1.000 x M<sub>4<\/sub><br \/>\nM<sub>4<\/sub> = 2.472,67<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>A\u00f1o 5:<\/p>\n<p> <\/td>\n<td>a<sub>5<\/sub> = c x i x N<sub>5<\/sub> + c x M<sub>5<\/sub><br \/>\n3.524.683,37 = 120 x (10.000 \u2013 1.040 \u2013 1.433,60 \u2013 1.906,69 \u2013 2.472,67) + 1.000 x M<sub>5<\/sub><br \/>\nM<sub>5<\/sub> = 3.147,04 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p> M<sub>1<\/sub> = 1.040 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;M<sub>1<\/sub> = 1.040<br \/>\n      M<sub>2<\/sub> = 1.433,60 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;M<sub>2<\/sub> = 1.433<br \/>\n      M<sub>3<\/sub> = 1.906,69&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;M<sub>3<\/sub> = 1.907<br \/>\n      M<sub>4<\/sub> = 2.472,67&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;M<sub>4<\/sub> = 2.473<br \/>\n      M<sub>5<\/sub> = 3.147,04&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; M<sub>5<\/sub> = 3.147<br \/>\n&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;      <br \/>\n      &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;9.998 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;10.000<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Este empr\u00e9stito se caracteriza porque: Los t\u00e9rminos amortizativos var\u00edan en progresi\u00f3n geom\u00e9trica. 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