{"id":1947,"date":"2016-07-15T11:51:29","date_gmt":"2016-07-15T11:51:29","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=1947"},"modified":"2016-07-15T11:52:25","modified_gmt":"2016-07-15T11:52:25","slug":"2-1-pasos-seguir-html","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/2-1-pasos-seguir-html\/","title":{"rendered":"2.1. Pasos a seguir"},"content":{"rendered":"

Se trata de ver los c\u00e1lculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortizaci\u00f3n del empr\u00e9stito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (t\u00e9rmino amortizativo) y su descomposici\u00f3n en cuota de amortizaci\u00f3n (c x Mk<\/sub>) y cuota de inter\u00e9s (c x i x Nk<\/sub>).<\/p>\n

2.1.1. C\u00e1lculo del t\u00e9rmino amortizativo (a)<\/h3>\n

Los pagos constantes que se realizan durante la vida del empr\u00e9stito incorporan, en parte el coste del aplazamiento (pago de cupones), en parte la devoluci\u00f3n de una porci\u00f3n de la deuda (amortizaci\u00f3n de t\u00edtulos). Para calcular el t\u00e9rmino amortizativo bastar\u00eda con plantear una equivalencia financiera en el momento 0 entre el nominal del empr\u00e9stito y la renta formada por los t\u00e9rminos amortizativos:<\/p>\n

  <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

resultando:<\/p>\n

  <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

de donde se despeja el t\u00e9rmino a:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

Es lo que se denomina el t\u00e9rmino amortizativo te\u00f3rico (a diferencia de los que aparecen en el cuadro que se les conoce como t\u00e9rminos amortizativos pr\u00e1cticos o reales).<\/p>\n

2.1.2. C\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados: ley de recurrencia (Mk<\/sub>)<\/h3>\n

Dada la estructura del t\u00e9rmino amortizativo (a) constante e ir disminuyendo la parte del mismo destinada al pago de cupones (porque va siendo cada vez menor el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n que tienen derecho a cobrarlo), el valor destinado a reembolsar t\u00edtulos necesariamente tendr\u00e1 que ir creciendo y, por tanto, el n\u00famero de t\u00edtulos amortizados en cada sorteo.<\/p>\n

Se plantea la necesidad de saber c\u00f3mo se obtiene el n\u00famero de t\u00edtulos que en cada sorteo resultan amortizados. Para ello podemos proceder de dos formas alternativas:<\/p>\n

2.1.2.1.
\n1.\u00aa posibilidad: dando valores a k en la estructura del t\u00e9rmino amortizativo<\/h4>\n

Conocida la cuant\u00eda del t\u00e9rmino a pagar en cada per\u00edodo y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cu\u00e1nto se destina a amortizar y, por tanto, cu\u00e1ntos t\u00edtulos se amortizar\u00e1n en cada momento. As\u00ed:<\/p>\n

Per\u00edodo 1: a = c x i x N1<\/sub> + c x M1<\/sub> –> c x M1<\/sub> = a \u2013 c x i x N1<\/sub>
\n                             a \u2013 c x i x N1<\/sub>
\n                  M1<\/sub> = ——————-
\n                                      c
\n Per\u00edodo 2: a = c x i x N2<\/sub> + c x M2<\/sub> –> c x M2<\/sub> = a \u2013 c x i x (N1<\/sub> \u2013 M1<\/sub>)
\n                             a \u2013 c x i x (N1<\/sub> \u2013 M1<\/sub>)

\n                  M2<\/sub> = —————————-
\n                                            c<\/p>\n

Siguiendo de la misma manera para el resto de per\u00edodos completar\u00edamos el c\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados en cada sorteo. A pesar de la simplicidad del c\u00e1lculo, resulta poco pr\u00e1ctico, sobre todo cuando el n\u00famero de sorteos es elevado. Conviene, pues, buscar un procedimiento que permita establecer, si es posible, alguna relaci\u00f3n (ley de recurrencia) a la hora de calcular los Mk<\/sub>.<\/p>\n

2.1.2.2.
\n2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la ley de recurrencia que siguen los t\u00edtulos amortizados<\/h4>\n

Como antes se ha comentado, al ser constante el t\u00e9rmino amortizativo y las cantidades destinadas al pago de cupones decrecientes, las cuant\u00edas destinadas a amortizaci\u00f3n necesariamente tendr\u00e1n que ir creciendo. Adem\u00e1s, var\u00edan siguiendo una ley matem\u00e1tica (ley de recurrencia).<\/p>\n

La ley de recurrencia es la relaci\u00f3n que existe entre dos t\u00e9rminos consecutivos, en este caso, las cantidades destinadas a amortizar t\u00edtulos. Para buscarla se relacionan por diferencias los t\u00e9rminos amortizativos de dos per\u00edodos consecutivos cualesquiera, as\u00ed:<\/p>\n

Per\u00edodo k:                 a = c x i x Nk<\/sub> + c x Mk<\/sub>
\n Per\u00edodo k+1:             a = c x i x Nk+1<\/sub> + c x Mk+1
\n                              ———————————————————
\n <\/sub>                        a – a = c x i x (Nk<\/sub> – Nk+1<\/sub>) + c x Mk<\/sub> – c x Mk+1<\/sub><\/p>\n

Siendo: Nk<\/sub> – Nk+1<\/sub> = Mk<\/sub> <\/p>\n

0 = c x i x Mk<\/sub> + c x Mk<\/sub> <\/sub>– c x Mk+1<\/sub><\/p>\n

dividiendo toda la expresi\u00f3n por c:<\/p>\n

0 = i x Mk<\/sub> + Mk<\/sub> – Mk+1<\/sub><\/p>\n

de donde se obtiene:<\/p>\n

Mk+1<\/sub> <\/sub> = Mk<\/sub> x (1 + i)<\/p>\n

Al aplicar esta ley para cualesquiera dos per\u00edodos consecutivos, se observa que var\u00edan siguiendo una progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n 1 + i, por tanto, cualquier Mk se puede calcular a partir del anterior, del primero o de cualquiera conocido. Con car\u00e1cter gen\u00e9rico, se pondr\u00e1n en funci\u00f3n del primero \u2013que es el m\u00e1s f\u00e1cil de obtener\u2013:<\/p>\n

Mk+1<\/sub> <\/sub>= M1<\/sub> x (1 + i)k<\/sup><\/p>\n

2.1.3. C\u00e1lculo de t\u00edtulos amortizados en el primer sorteo (M1<\/sub>)<\/h3>\n

Una vez calculado M1, todos los dem\u00e1s se podr\u00e1n obtener aplicando la ley de recurrencia anterior. El c\u00e1lculo del n\u00famero de t\u00edtulos amortizados en el primer sorteo se puede realizar de dos formas posibles:<\/p>\n

2.1.3.1.
\n1.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de la estructura del primer t\u00e9rmino amortizativo<\/h4>\n

Per\u00edodo 1: a = c x i x N1<\/sub> + c x M1<\/sub><\/p>\n

                                                                      a \u2013 c x i x N1<\/sub>
\n donde es conocido todo salvo M1<\/sub> –> M1<\/sub> = ——————-
\n                                                                                c<\/p>\n

lo que implica haber calculado previamente el t\u00e9rmino amortizativo (a).<\/p>\n

2.1.3.2. 2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de los t\u00edtulos emitidos<\/h4>\n

En todo empr\u00e9stito se cumple que la suma aritm\u00e9tica de los t\u00edtulos amortizados en cada per\u00edodo coincide con el n\u00famero de t\u00edtulos inicialmente emitidos:<\/p>\n

M1<\/sub> + M2<\/sub> + M3<\/sub> + … + Mn<\/sub> = N1<\/sub><\/p>\n

Adem\u00e1s, en este tipo de empr\u00e9stito todos los t\u00edtulos amortizados se pueden poner en funci\u00f3n del primero de ellos por la ley de recurrencia antes calculada, por lo que la igualdad anterior quedar\u00e1 de la siguiente forma:<\/p>\n

M1<\/sub> + M1<\/sub> x (1 + i) + M1<\/sub> x (1 + i)2<\/sup> + … + M1<\/sub> x (1 + i)n-1<\/sup> = N1<\/sub><\/p>\n

Simplificando la expresi\u00f3n:<\/p>\n

M1<\/sub> x [1 + (1 + i) + (1 + i)2<\/sup> + … + (1 + i)n-1<\/sup>] = N1<\/sub><\/p>\n

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n t\u00e9rminos, por tanto:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

de donde:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

2.1.4. C\u00e1lculo del total de t\u00edtulos amortizados (mk<\/sub>)<\/h3>\n

Los t\u00edtulos amortizados en un momento de tiempo concreto se pueden obtener de dos formas posibles:<\/p>\n

\u2022 Por diferencias, entre el n\u00famero de t\u00edtulos emitidos y los que a\u00fan est\u00e1n en circulaci\u00f3n:<\/p>\n

mk<\/sub> = N1<\/sub> – Nk+1<\/sub><\/p>\n

\u2022 Por suma de los t\u00edtulos amortizados hasta la fecha:<\/p>\n

mk<\/sub> = M1<\/sub> + M2<\/sub> + … + Mk<\/sub><\/p>\n

Adem\u00e1s, todos los t\u00edtulos amortizados se pueden poner en funci\u00f3n del primero de ellos, seg\u00fan la ley de recurrencia que siguen:<\/p>\n

mk<\/sub> = M1<\/sub> + M1<\/sub> x (1 + i) + M1<\/sub> x (1 + i)2<\/sup> + … + M1<\/sub> x (1 + i)k-1<\/sup><\/p>\n

Simplificando la expresi\u00f3n:<\/p>\n

mk<\/sub> = M1<\/sub> x [1 + (1 + i) + (1 + i)2<\/sup> + … + (1 + i)k-1<\/sup>]<\/p>\n

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de k t\u00e9rminos, por tanto:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

2.1.5. C\u00e1lculo de t\u00edtulos vivos a principios de cada per\u00edodo (Nk+1<\/sub>)<\/h3>\n

Podemos plantear este c\u00e1lculo de varias formas:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

2.1.5.1. 1.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de los t\u00edtulos amortizados<\/h4>\n
    \n
  • M\u00e9todo retrospectivo: considerando t\u00edtulos ya amortizados: <\/li>\n<\/ul>\n

    <\/p>\n

      \n
    • M\u00e9todo prospectivo: considerando los t\u00edtulos pendientes de amortizar:<\/li>\n<\/ul>\n

      <\/p>\n

      2.1.5.2. 2.\u00aa posibilidad: a trav\u00e9s de t\u00e9rminos amortizativos<\/h4>\n

      Al trabajar con los t\u00e9rminos amortizativos se deber\u00e1n hacer de forma financiera (no bastar\u00e1 con sumar y restar aritm\u00e9ticamente, como en el caso anterior) puesto que los t\u00e9rminos incorporan intereses y principal; habr\u00e1 que mover financieramente las cantidades correspondientes.<\/p>\n

       <\/p>\n

      <\/p>\n

       <\/p>\n

      \u2022 M\u00e9todo retrospectivo, a trav\u00e9s de los t\u00e9rminos amortizativos pasados.<\/p>\n

       <\/p>\n

      <\/p>\n

       <\/p>\n

      Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido (k) entre lo que le supone al emisor amortizar de una sola vez los t\u00edtulos a\u00fan en circulaci\u00f3n (amortizaci\u00f3n anticipada) y lo que a\u00fan debe (la diferencia entre lo que el emisor recibi\u00f3 en la emisi\u00f3n y lo que hasta la fecha ya ha pagado):
      \n en k:<\/p>\n

      Lo que se supondr\u00eda la amortizaci\u00f3n anticipada en k = [lo recibido \u2013 lo pagado]k<\/sub><\/p>\n

      es decir:<\/p>\n

        <\/p>\n

      <\/p>\n

       <\/p>\n

      de donde se despejar\u00eda el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n en ese momento: Nk+1<\/sub>.<\/p>\n

        \n
      • M\u00e9todo prospectivo, a trav\u00e9s de los t\u00e9rminos amortizativos futuros.<\/li>\n<\/ul>\n

         <\/p>\n

        <\/p>\n

         <\/p>\n

        Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido entre lo que supone amortizar de una sola vez los t\u00edtulos a\u00fan en circulaci\u00f3n (amortizaci\u00f3n anticipada) y lo que deber\u00eda seguir pagando el emisor en caso de continuar con el empr\u00e9stito hasta el final.
        \n en k:<\/p>\n

        Lo que se supondr\u00eda la amortizaci\u00f3n anticipada en k = [cantidades pendientes de pagar]k<\/sub><\/p>\n

        es decir:<\/p>\n

          <\/p>\n

        <\/p>\n

         <\/p>\n

        de donde se despejar\u00eda el n\u00famero de t\u00edtulos en circulaci\u00f3n en ese momento: Nk+1<\/sub>.<\/p>\n

        2.1.6. C\u00e1lculo del importe a pagar de cupones en el per\u00edodo k+1<\/h3>\n

        Los intereses de cualquier per\u00edodo se calcular\u00e1n a partir de los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n a principios de ese per\u00edodo, a los que se les entregar\u00e1 el cup\u00f3n acordado (c x i).<\/p>\n

        Per\u00edodo k + 1: c x i x Nk+1<\/sub><\/p>\n

         <\/p>\n

        \n

        EJEMPLO 2 <\/strong><\/p>\n

        Se emite el siguiente empr\u00e9stito:<\/p>\n

          \n
        • T\u00edtulos emitidos: 100.000.<\/li>\n
        • Nominal t\u00edtulo: 1.000 euros.<\/li>\n
        • Cup\u00f3n anual (c x i): 120 euros.<\/li>\n
        • Duraci\u00f3n: 5 a\u00f1os.<\/li>\n
        • Sorteos anuales, amortiz\u00e1ndose los t\u00edtulos por el nominal.<\/li>\n
        • Anualidad constante.<\/li>\n<\/ul>\n

          Se pide:<\/p>\n

            \n
          • Anualidad del empr\u00e9stito.<\/li>\n
          • Cuadro de amortizaci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n

            Soluci\u00f3n:<\/p>\n

             <\/p>\n

            <\/p>\n

             <\/p>\n

            C\u00e1lculo de la anualidad:<\/p>\n

             <\/p>\n

            <\/p>\n

             <\/p>\n

            C\u00e1lculo de los t\u00edtulos amortizados:<\/p>\n

              <\/p>\n

            <\/p>\n

             <\/p>\n

            Para calcular el n\u00famero definitivo de t\u00edtulos amortizados en cada sorteo, seguiremos el denominado \u00abm\u00e9todo del redondeo\u00bb, que consiste en calcular en primer lugar los t\u00edtulos que te\u00f3ricamente corresponde amortizar en cada sorteo (con decimales). A continuaci\u00f3n se suman solamente las partes enteras (99.996) y los t\u00edtulos que faltan hasta completar los que se emitieron (4 en nuestro caso), se reparten teniendo preferencia los sorteos con mayor decimal y correspondiendo como m\u00e1ximo un t\u00edtulo por sorteo.<\/p>\n

            Cuadro de amortizaci\u00f3n:<\/p>\n

             <\/p>\n\n\n\n\n
            \n
             <\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            (1)
            \n <\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            (2) <\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            (3) <\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            (4) = (1) x 120 <\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            (5) = (2) x 1.000<\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            (6) = (4) + (5)<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
            \n
            A\u00f1o
            \n <\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            T\u00edtulos vivos<\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            T\u00edtulos amortiz.<\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            Total
            \n t\u00edt. amort. <\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            Intereses <\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            Amortizaci\u00f3n <\/span><\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            T\u00e9rmino amortizativo<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
            \n
            1
            \n 2
            \n 3
            \n 4
            \n 5<\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            100.000
            \n 84.259
            \n 66.629
            \n 46.884
            \n 24.769<\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            15.741
            \n 17.630
            \n 19.745

            \n 22.115

            \n 24.769<\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            15.741

            \n 33.371
            \n 53.116
            \n 75.231

            \n 100.000<\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            12.000.000
            \n 10.111.080
            \n 7.995.480

            \n 5.626.080

            \n 2.972.280<\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            15.741.000
            \n 17.630.000
            \n 19.745.000

            \n 22.115.000

            \n 24.769.000<\/div>\n<\/td>\n
            		\n
            27.741.000
            \n 27.741.080
            \n 27.740.480
            \n 27.741.080

            \n 27.741.280 <\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

             <\/p>\n

            \n La columna (1)<\/span> recoge los t\u00edtulos en circulaci\u00f3n a principios de cada per\u00edodo, que ser\u00e1n los que tengan derecho a percibir el cup\u00f3n al final del per\u00edodo (4)<\/span>. La columna (2)<\/span> recoge los t\u00edtulos que resultan amortizados al final de cada per\u00edodo y que ser\u00e1n los que reciban el valor de reembolso (5)<\/span>. El pago finalmente efectuado por el emisor en cada momento ser\u00e1 elt\u00e9rmino amortizativo (6)<\/span>.<\/p>\n

            La cuant\u00eda de los t\u00e9rminos amortizativos (tambi\u00e9n denominada anualidad pr\u00e1ctica) no coincide con el importe calculado anteriormente (27.740.973,19). Esto se debe al redondeo efectuado en los t\u00edtulos que resultan amortizados en cada sorteo.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

            Se trata de ver los c\u00e1lculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortizaci\u00f3n del empr\u00e9stito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (t\u00e9rmino amortizativo) y su descomposici\u00f3n en cuota de amortizaci\u00f3n (c x Mk) y cuota de inter\u00e9s (c x i x Nk). 2.1.1. C\u00e1lculo del t\u00e9rmino amortizativo […]<\/p>\n","protected":false},"author":27,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":5021,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n2.1. Pasos a seguir - Blog de ADE<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/2-1-pasos-seguir-html\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"2.1. 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