{"id":1880,"date":"2016-07-15T10:13:46","date_gmt":"2016-07-15T10:13:46","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=1880"},"modified":"2016-07-15T10:16:23","modified_gmt":"2016-07-15T10:16:23","slug":"rentas-variables-en-progresion-geometrica-i-p20-htm","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/rentas-variables-en-progresion-geometrica-i-p20-htm\/","title":{"rendered":"3. Rentas variables en progresi\u00f3n geom\u00e9trica"},"content":{"rendered":"

Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempo cuyas cuant\u00edas son variables siguiendo una ley en progresi\u00f3n geom\u00e9trica, esto es, cada t\u00e9rmino es el anterior multiplicado por un mismo n\u00famero (que se denomina raz\u00f3n de la progresi\u00f3n geom\u00e9trica) y que notaremos por q.<\/p>\n

Para calcular cualquier t\u00e9rmino basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n (q).<\/p>\n

3.1.
\nRENTA VARIABLE EN PROGRESI\u00d3N GEOM\u00c9TRICA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA<\/h2>\n

Vamos a estudiar una renta variable (t\u00e9rminos que siguen una progresi\u00f3n geom\u00e9trica), temporal (tiene un n\u00famero determinado de capitales), pospagable (los t\u00e9rminos vencen al final del per\u00edodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (t\u00e9rminos y tanto est\u00e1n en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular\u00e1 en r\u00e9gimen de compuesta (renta compuesta).<\/p>\n

3.1.1. C\u00e1lculo del valor actual<\/h3>\n

La representaci\u00f3n gr\u00e1fica de la renta anteriormente citada es la siguiente:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

Se trata de valorar en el origen todos los t\u00e9rminos que componen la renta. Para ello llevaremos, uno a uno, descontando en r\u00e9gimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde est\u00e1 cada capital hasta el origen, obteni\u00e9ndose el valor actual, que se nota con la siguiente terminolog\u00eda: A(c; q) n\u00f9i, expresi\u00f3n que recoge la informaci\u00f3n de la renta (n t\u00e9rminos al tanto i) y tambi\u00e9n datos de la progresi\u00f3n que siguen los capitales (primer t\u00e9rmino \u2013c\u2013 y raz\u00f3n de la progresi\u00f3n \u2013q\u2013):<\/p>\n

<\/p>\n

  <\/p>\n

Sacando factor com\u00fan:<\/p>\n

            c
\n      ———-
\n        (1 + i)<\/p>\n

se obtiene:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

donde el corchete es la suma de n t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica creciente de raz\u00f3n:<\/p>\n

               q
\n      r = ——–
\n             1 + i<\/p>\n

Aplicando la expresi\u00f3n que suma t\u00e9rminos que siguen esta ley:<\/p>\n

                  a1<\/sub> \u2013 an<\/sub> x r
\n       S = ———————
\n                       1 \u2013 r<\/p>\n

siendo a1<\/sub> el primer t\u00e9rmino de la progresi\u00f3n, an<\/sub>, el \u00faltimo t\u00e9rmino y r, la raz\u00f3n. <\/p>\n

Aplicando dicha f\u00f3rmula a los t\u00e9rminos actualizados de la renta, el valor actual de la renta queda de la siguiente forma:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

de donde finalmente se puede obtener:<\/p>\n

  <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

expresi\u00f3n que solamente se podr\u00e1 utilizar cuando q \u2260 1 + i.<\/p>\n

Cuando se cumple: q = 1 + i, la expresi\u00f3n del valor actual quedar\u00e1 de la siguiente forma:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

sacando factor com\u00fan:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

El corchete, al simplificarse, no es m\u00e1s que la suma aritm\u00e9tica de n veces la unidad, quedando el valor actual as\u00ed:<\/p>\n

  <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

3.1.2. C\u00e1lculo del valor final<\/h3>\n

A partir del valor actual se podr\u00e1 calcular el valor de la renta en cualquier otro momento, utilizando la relaci\u00f3n que existe entre los valores financieros en los diferentes momentos de tiempo. En concreto, el valor final ser\u00e1 el resultado de capitalizar el valor actual antes calculado.<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

EJEMPLO 10 <\/strong><\/p>\n

Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que el primer a\u00f1o va a ganar 20.000 euros y espera que crezcan un 5% anual de forma acumulativa para un horizonte temporal de 4 a\u00f1os.<\/p>\n

a) Suponiendo una tasa de valoraci\u00f3n del 7%.
\n b) Suponiendo una tasa de valoraci\u00f3n del 5%.<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

a) Valorando al 7%:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

b) Valorando al 5%:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n\n\n
Nota.<\/span> A id\u00e9nticos resultados se hubiera llegado si desplazamos uno a uno los capitales a la fecha de estudio.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 <\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

3.2. RENTAS PREPAGABLES<\/h2>\n

Para una renta variable con t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica, temporal (n capitales), pospagable, inmediata, entera y valorada en compuesta, la representaci\u00f3n gr\u00e1fica queda de la siguiente forma:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

3.2.1. C\u00e1lculo del valor actual<\/h3>\n

Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por una parte, el primer capital, que ya est\u00e1 en el origen y el resto de capitales, n\u20131, como renta pospagable inmediata de n\u20131 t\u00e9rminos:<\/p>\n

  <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los t\u00e9rminos.<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

3.2.2. C\u00e1lculo del valor final<\/h3>\n

Se puede obtener capitalizando el valor actual de la misma renta.<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

3.3. RENTAS PERPETUAS<\/h2>\n

El c\u00e1lculo de la renta en progresi\u00f3n geom\u00e9trica perpetua se realiza, como las dem\u00e1s rentas perpetuas, a trav\u00e9s del l\u00edmite cuando el n\u00famero de t\u00e9rminos de la renta (n) tiende a infinito:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

resultando finalmente que el l\u00edmite, y por tanto el resultado del valor actual, est\u00e1 en funci\u00f3n de la relaci\u00f3n existente entre el valor de la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n (q) y (1 + i), y s\u00f3lo tendr\u00e1 sentido financiero cuando q < 1 + i, quedando el siguiente valor actual:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

3.4. RENTAS DIFERIDAS<\/h2>\n

Cuando se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoraci\u00f3n se denomina per\u00edodo de diferimiento de la renta.<\/p>\n

Para valorar la renta diferida, primero valoraremos renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en r\u00e9gimen de descuento compuesto al tanto de inter\u00e9s vigente durante el per\u00edodo de diferimiento. Gr\u00e1ficamente ser\u00eda:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

El resultado final quedar\u00eda as\u00ed:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcula como en una renta inmediata.<\/p>\n

3.5. RENTAS ANTICIPADAS<\/h2>\n

Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final, siendo el per\u00edodo de anticipaci\u00f3n de la renta el tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de su valoraci\u00f3n.<\/p>\n

Valoraremos la renta, trat\u00e1ndola como renta inmediata, en su final y posteriormente capitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el per\u00edodo de anticipaci\u00f3n (h). Tambi\u00e9n se podr\u00e1 valorar la renta en su origen y posteriormente capitalizamos hasta el punto deseado.<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

El resultado ser\u00e1:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

La anticipaci\u00f3n solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizar\u00e1 como si de una renta inmediata se tratara, cumpli\u00e9ndose la siguiente relaci\u00f3n, como en cualquier otro tipo de renta, entre diferentes valores de la renta:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

                Vn<\/sub>                  Vn+h
\n <\/sub>V0<\/sub> = ————— = —————-
\n            (1 + i)n              <\/sup> (1 + i)n+h<\/sup><\/p>\n

  <\/p>\n

\n

EJEMPLO 11 <\/strong><\/p>\n

Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los pr\u00f3ximos 15 semestres si para el primer per\u00edodo ascienden a 500 euros y se estima un incremento semestral del 8% durante los primeros 10 semestres y manteni\u00e9ndose constante a partir de entonces. Tipo de valoraci\u00f3n el 10% efectivo semestral.<\/p>\n

Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente ser\u00eda aleatoria. Por el contrario, si se consideran en primer lugar los 10 primeros t\u00e9rminos (renta en progresi\u00f3n geom\u00e9trica inmediata) y a continuaci\u00f3n los 5 \u00faltimos (renta constante y diferida), podremos emplear f\u00f3rmulas de rentas.<\/p>\n

As\u00ed:<\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempo cuyas cuant\u00edas son variables siguiendo una ley en progresi\u00f3n geom\u00e9trica, esto es, cada t\u00e9rmino es el anterior multiplicado por un mismo n\u00famero (que se denomina raz\u00f3n de la progresi\u00f3n geom\u00e9trica) y que notaremos por q. Para calcular cualquier t\u00e9rmino basta […]<\/p>\n","protected":false},"author":27,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":3030,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n3. 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