![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p126-01.png\")
<\/p>\nLas rentas de cuant\u00eda constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos.<\/p>\n
Vamos a estudiar una renta constante (t\u00e9rminos de igual cuant\u00eda), temporal (tiene un n\u00famero determinado de capitales), pospagable (los t\u00e9rminos vencen al final del per\u00edodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (t\u00e9rminos y tanto est\u00e1n en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular\u00e1 en r\u00e9gimen de compuesta (renta compuesta).<\/p>\n
Comenzaremos por la renta constante m\u00e1s f\u00e1cil, la que tiene como t\u00e9rmino la unidad (renta unitaria), cuya representaci\u00f3n gr\u00e1fica es la siguiente:<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
Aplicando la definici\u00f3n de valor actual y llevando los t\u00e9rminos uno a uno, descontando en r\u00e9gimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde est\u00e1n cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminolog\u00eda an\u00f9i, donde n representa el n\u00famero de capitales e i el tanto de valoraci\u00f3n:<\/p>\n
<\/p>\n
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<\/p>\n<\/blockquote>\n
<\/p>\n
que supone la suma de n t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica decreciente de raz\u00f3n:<\/p>\n
![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p126-03.png\")
<\/p>\n<\/blockquote>\n
que se puede calcular con la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n
\n
![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p126-04.png\")
<\/p>\n<\/blockquote>\n
que permite sumar n t\u00e9rminos en progresi\u00f3n decreciente, donde a1<\/sub> es el primer t\u00e9rmino de la progresi\u00f3n, an<\/sub> es el \u00faltimo t\u00e9rmino y r es la raz\u00f3n. <\/p>\n Aplicando dicha f\u00f3rmula a los t\u00e9rminos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n expresi\u00f3n que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre s\u00ed hasta su origen al tanto de inter\u00e9s i.<\/p>\n Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. En el supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos t\u00e9rminos fueran de cuant\u00eda c, el valor actual se representa por An\u00f9i y se obtendr\u00eda de la siguiente forma:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Sacando factor com\u00fan el t\u00e9rmino c: <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y entera de n t\u00e9rminos, an\u00f9i:<\/p>\n <\/p>\n La expresi\u00f3n An\u00f9i indica, pues, que la renta es constante de cuant\u00eda diferente de la unidad.<\/p>\n <\/p>\n EJEMPLO 1<\/strong><\/p>\n Calcular el valor actual de una renta de tres t\u00e9rminos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de inter\u00e9s del 10% efectivo anual.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Moviendo los capitales uno a uno:<\/p>\n \n Utilizando la renta:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n EJEMPLO 2 <\/strong><\/p>\n Calcular el valor de la imposici\u00f3n que tendremos que realizar en un banco que capitaliza al 12% de inter\u00e9s efectivo anual compuesto, si queremos disponer de 20.000 euros al final de cada uno de los pr\u00f3ximos 5 a\u00f1os.<\/p>\n Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. Por tanto, para que exista equivalencia entre la imposici\u00f3n y los reintegros, aqu\u00e9lla debe coincidir con el valor actualizado de estos \u00faltimos. As\u00ed, la imposici\u00f3n inicial ser\u00e1 el valor actual de la renta formada por los reintegros al tanto que genera la operaci\u00f3n.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal \u2013n capitales\u2013, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los t\u00e9rminos de la renta en su final (momento n), quedando gr\u00e1ficamente as\u00ed:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Aplicando la definici\u00f3n de valor final y llevando los t\u00e9rminos uno a uno, capitalizando en r\u00e9gimen de capitalizaci\u00f3n compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminolog\u00eda sn\u00f9i siendo n el n\u00famero de capitales e i el tanto de valoraci\u00f3n:<\/p>\n <\/p>\n Que no es sino la suma de n t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica creciente de raz\u00f3n r = 1 + i, que se puede calcular con la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n donde a1 es el primer t\u00e9rmino de la progresi\u00f3n, an es el \u00faltimo t\u00e9rmino y r es la raz\u00f3n.<\/p>\n Aplicando dicha f\u00f3rmula a los t\u00e9rminos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente queda:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Al mismo resultado hubi\u00e9semos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de valoraci\u00f3n:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n por tanto el valor final de la renta ser\u00e1 la capitalizaci\u00f3n de su valor actual.<\/p>\n <\/p>\n Comprobaci\u00f3n:<\/em><\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n En el supuesto de ser los t\u00e9rminos de cuant\u00eda c, el valor final (Sn\u00f9i) se calcular\u00e1 as\u00ed:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Simplificando, tomando factor com\u00fan el t\u00e9rmino c:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Donde el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal de n t\u00e9rminos, pospagable, inmediata y entera, sn\u00f9i:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Y, de igual forma, se puede obtener capitalizando el valor actual:<\/p>\n <\/p>\n \n<\/p>\n EJEMPLO 3 <\/strong><\/p>\n Calcular el valor final de una renta de tres t\u00e9rminos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de inter\u00e9s del 10% efectivo anual.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Desplazando los capitales uno a uno:<\/p>\n V3 <\/sub> = 100 x (1 + 0,1)2 <\/sup>+ 100 x (1 + 0,1) + 100 = 331 \u20ac<\/p>\n<\/blockquote>\n Utilizando la renta:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Capitalizando el valor actual:<\/p>\n V3 <\/sub> = 248,69 x (1 + 0,1)3 <\/sup> = 331 \u20ac<\/p>\n<\/blockquote>\n<\/div>\n <\/p>\n EJEMPLO 4 <\/strong><\/p>\n Calcular el importe acumulado en un banco al cabo de 5 a\u00f1os, si imponemos al final de cada uno de ellos 20.000 euros siendo el tipo de inter\u00e9s de la cuenta el 12% efectivo anual.<\/p>\n El importe acumulado despu\u00e9s de 5 a\u00f1os ser\u00e1 el valor final de la renta formada por las imposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoraci\u00f3n el tipo de inter\u00e9s de la propia cuenta.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n EJEMPLO 5 <\/strong><\/p>\n Calcular el n\u00famero de ingresos de 25.000 euros que tenemos que realizar al final de cada a\u00f1o para reunir 209.845,94 euros en un banco que capitaliza al 6% efectivo anual.<\/p>\n En este caso se conoce la cuant\u00eda a imponer peri\u00f3dicamente, que constituye una renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que se desea conocer es el n\u00famero de imposiciones a realizar, esto es, el n\u00famero de t\u00e9rminos de la renta (n) que constituyen las imposiciones.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n y mediante logaritmos se despeja la inc\u00f3gnita n:<\/p>\n <\/p>\n Vamos a estudiar una renta constante (t\u00e9rminos de igual cuant\u00eda), temporal (tiene un n\u00famero determinado de capitales), prepagable (los t\u00e9rminos vencen al principio del per\u00edodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (t\u00e9rminos y tipo de inter\u00e9s est\u00e1n en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular\u00e1 en r\u00e9gimen de compuesta (renta compuesta).<\/p>\n Comenzaremos por la renta constante que tiene como t\u00e9rmino la unidad (renta unitaria), cuya representaci\u00f3n gr\u00e1fica es la siguiente:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Aplicando la definici\u00f3n de valor actual y llevando los t\u00e9rminos uno a uno, descontando en r\u00e9gimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde est\u00e1 cada capital hasta el origen se obtiene el valor actual que notaremos por \u00e4n\u00f9i:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n que supone la suma de n t\u00e9rminos en progresi\u00f3n geom\u00e9trica decreciente de raz\u00f3n:<\/p>\n que se puede calcular con la siguiente expresi\u00f3n: <\/p>\n Aplicando dicha f\u00f3rmula a los t\u00e9rminos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n expresi\u00f3n que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre s\u00ed hasta su origen, al tanto de inter\u00e9s i.<\/p>\n Otra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando por separado el primer capital, que ya est\u00e1 en el origen, y el resto de capitales (n \u2013 1) como renta pospagable inmediata:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Para rentas constantes cuyos t\u00e9rminos fueran de cuant\u00eda c, el valor actual (\u00c4n\u00f9i) se obtiene valorando en el origen cada uno de esos capitales:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Sacando factor com\u00fan c:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, prepagable, inmediata y entera, \u00e4n\u00f9i:<\/p>\n <\/p>\n \nLa expresi\u00f3n \u00c4n\u00f9i indica que la renta es constante de cuant\u00eda diferente de la unidad.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n EJEMPLO 6 <\/strong><\/p>\n Calcular el valor actual y final de una renta de tres t\u00e9rminos anuales situados a principios del a\u00f1o de 100 euros cada uno a un tanto de inter\u00e9s del 10% efectivo anual.<\/p>\n \u2022 Valor actual<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Moviendo los capitales uno a uno:<\/p>\n Utilizando la renta:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \u2022 Valor final<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Moviendo los capitales uno a uno:<\/p>\n V3<\/sub> <\/sub>= 100 x (1 + 0,1)3<\/sup> <\/sup>+ 100 x (1 + 0,1)2<\/sup> <\/sup>+ 100 x (1 + 0,1) = 364,10 \u20ac <\/p>\n<\/blockquote>\n Utilizando la renta:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Capitalizando el valor actual:<\/p>\n V3<\/sub> <\/sub> = 273,55 x (1 + 0,1)3<\/sup> = 364,10 \u20ac<\/p>\n<\/blockquote>\n<\/div>\n <\/p>\n Las rentas perpetuas son aquellas cuyo n\u00famero de t\u00e9rminos es infinito. Por este motivo a este tipo de rentas s\u00f3lo se le podr\u00e1 calcular valor actual pero nunca el valor final, y todo ello con independencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable, etc. <\/p>\n El valor actual de estas rentas se obtendr\u00e1 viendo qu\u00e9 ocurre si aplicamos las f\u00f3rmulas empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un n\u00famero finito de capitales (n) trabajamos con infinitos t\u00e9rminos (\u221e\u221e). En definitiva, se trata de trabajar con el concepto matem\u00e1tico de los l\u00edmites, cuando la duraci\u00f3n de la renta (y por tanto, el n\u00famero de capitales) tiende a infinito.<\/p>\n En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera:<\/p>\n \u2022 Renta unitaria:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \u2022 Renta no unitaria:<\/p>\n Ser\u00e1 la cuant\u00eda del t\u00e9rmino multiplicado por la renta unitaria:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n En el caso de una renta constante, prepagable,<\/em> inmediata y entera, se puede hacer uso de la definici\u00f3n de renta perpetua, pero tambi\u00e9n se puede hacer uso de la regla habitual de calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta considerada pospagable.<\/p>\n \u2022 Renta unitaria:<\/p>\n <\/p>\n \n\u2022 Renta no unitaria:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un t\u00e9rmino de 25.000 euros si el tanto de valoraci\u00f3n es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientes casos:<\/p>\n a) Si los capitales son pospagables.<\/p>\n b) Si los capitales son prepagables.<\/p>\n a) Pospagables:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n b) Prepagables:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoraci\u00f3n se denomina per\u00edodo de diferimiento de la renta.<\/p>\n Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n t\u00e9rminos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoraci\u00f3n elegido. <\/p>\n Gr\u00e1ficamente quedar\u00eda:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Al aplicar la definici\u00f3n de valor financiero en el momento t:<\/p>\n Sacando factor com\u00fan:<\/p>\n quedar\u00e1:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Donde el corchete representa el valor actual de la renta unitaria, temporal (n t\u00e9rminos), pospagable, inmediata y entera (an\u00f9i), que posteriormente se descuenta como un capital \u00fanico, al mismo tipo (i), durante el per\u00edodo de diferimiento (d). Por tanto, se obtendr\u00eda el mismo resultado si valoramos la renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente se descuenta dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en r\u00e9gimen de descuento compuesto al tanto de inter\u00e9s vigente durante el per\u00edodo de diferimiento. Gr\u00e1ficamente ser\u00eda:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Anal\u00edticamente quedar\u00eda as\u00ed:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Expresi\u00f3n esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: d\/an\u00f9i, donde n representa el n\u00famero de t\u00e9rminos de la renta, i, el tanto de valoraci\u00f3n y d, el per\u00edodo de diferimiento.<\/p>\n Si la renta fuera constante, pero de cuant\u00eda diferente de la unidad (no unitaria) todo lo dicho seguir\u00eda siendo v\u00e1lido y bastar\u00eda con multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuant\u00eda del t\u00e9rmino.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es el valor final de la renta, aplicando la definici\u00f3n de valor final se ratar\u00e1 como una renta inmediata, aunque tambi\u00e9n se podr\u00eda obtener dicho valor final a partir del valor actual diferido:<\/p>\n <\/p>\n Vn<\/sub> = V0<\/sub> x (1 + i)n<\/sup> = Vt<\/sub> x (1 + i)d+n<\/sup><\/p>\n<\/blockquote>\n <\/p>\n EJEMPLO 8 <\/strong><\/p>\n Calcular el valor actual y final de una renta cuya duraci\u00f3n es de 5 a\u00f1os, con t\u00e9rminos anuales prepagables de 2.700 euros sabiendo que se empiezan a devengar dentro de 3 a\u00f1os. Tanto de valoraci\u00f3n 11% efectivo anual.<\/p>\n Se trata de una renta diferida 3 a\u00f1os, con t\u00e9rminos prepagables y 5 t\u00e9rminos. <\/p>\n \u2022 Valor actual:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \u2022 Valor final:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n El diferimiento no afecta al valor final, que se pod\u00eda haber calculado como el de una renta inmediata de 5 t\u00e9rminos prepagables:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de valoraci\u00f3n se denomina per\u00edodo de anticipaci\u00f3n de la renta.<\/p>\n Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n t\u00e9rminos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoraci\u00f3n elegido. <\/p>\n Gr\u00e1ficamente quedar\u00eda:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Al aplicar la definici\u00f3n de valor financiero en el momento t:<\/p>\n <\/p>\n Vn+h<\/sub> <\/sub> = (1 + i)h<\/sup> <\/sup>+ (1 + i)h+1<\/sup> + (1 + i)h+2<\/sup> <\/sup>+ … + (1 + i) h+n-1<\/sup><\/p>\n<\/blockquote>\n <\/p>\n Sacando factor com\u00fan (1 + i)h<\/sup> quedar\u00e1 lo siguiente:<\/p>\n <\/p>\n Vn+h<\/sub> = (1 + i)h<\/sup> x [1 + (1 + i) + (1 + i)2<\/sup> <\/sup>+ … + (1 + i)n-1<\/sup>]<\/p>\n<\/blockquote>\n <\/p>\n Donde el corchete representa el valor final de la renta unitaria, temporal (n t\u00e9rminos), pospagable, inmediata y entera (sn\u00f9i), que posteriormente se capitaliza como un capital \u00fanico, al mismo tipo (i), durante el per\u00edodo de anticipaci\u00f3n (h). Por tanto, si primero se valora la renta en su final y posteriormente capitalizamos el valor final, como un solo capital, se obtendr\u00eda el mismo resultado.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Anal\u00edticamente quedar\u00eda as\u00ed:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Expresi\u00f3n esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: h\/s n\u00f9i, donde n representa el n\u00famero de t\u00e9rminos de la renta, i, el tanto de valoraci\u00f3n y h, el per\u00edodo de anticipaci\u00f3n.<\/p>\n La anticipaci\u00f3n solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizar\u00e1 como si de una renta inmediata se tratara, cumpli\u00e9ndose la siguiente relaci\u00f3n entre diferentes valores de la renta:<\/p>\n <\/p>\n Todo lo anterior se cumple, de igual forma, para rentas constantes de cuant\u00eda diferente a la unidad (no unitarias).<\/p>\n <\/p>\n EJEMPLO 9 <\/strong><\/p>\n Calcular el valor actual y final de una renta de 3 t\u00e9rminos anuales de 1.000 euros pagaderos por vencido si la valoraci\u00f3n al 7% anual se efect\u00faa a los 8 a\u00f1os de comenzada la renta.<\/p>\n Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoraci\u00f3n se realiza 5 a\u00f1os despu\u00e9s de haberse hecho efectivo el \u00faltimo capital. No obstante, la anticipaci\u00f3n no afecta al valor actual que se resolver\u00e1 como una renta inmediata.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \u2022 Valor actual:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \u2022 Valor final:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n tambi\u00e9n:<\/p>\n <\/p>\n V8 <\/sub>= V0 x <\/sub>(1 + 0,07)8 <\/sup> = 2.624,32 x (1 + 0,07)8 <\/sup>= 4.509,06 \u20ac<\/p>\n<\/blockquote>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Las rentas de cuant\u00eda constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos. 2.1. 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<\/p>\n<\/blockquote>\n<\/div>\n 2.2. RENTAS PREPAGABLES<\/h2>\n
2.2.1. C\u00e1lculo del valor actual<\/h3>\n
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<\/p>\n\n
\n Nota:<\/span> los valores actuales y finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1 + i), es decir, las rentas prepagables son el resultado de capitalizar un per\u00edodo las rentas pospagables.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n \n![](\"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/images_book\/p137-02.png\")
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<\/p>\n<\/blockquote>\n 2.3. RENTAS PERPETUAS<\/h2>\n
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<\/p>\n<\/blockquote>\n2.4. RENTAS DIFERIDAS<\/h2>\n
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<\/p>\n<\/blockquote>\n<\/div>\n2.5. RENTAS ANTICIPADAS<\/h2>\n
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