{"id":1843,"date":"2016-07-15T08:44:03","date_gmt":"2016-07-15T08:44:03","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=1843"},"modified":"2016-07-15T08:46:09","modified_gmt":"2016-07-15T08:46:09","slug":"tantos-equivalentes-p14-htm","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/tantos-equivalentes-p14-htm\/","title":{"rendered":"2. Tantos equivalentes"},"content":{"rendered":"

La definici\u00f3n de tantos equivalentes es la misma que la vista en r\u00e9gimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo per\u00edodo de tiempo producen el mismo inter\u00e9s o generan el mismo capital final o montante.<\/p>\n

Como ya se coment\u00f3 cuando se hablaba del inter\u00e9s simple, la variaci\u00f3n en la frecuencia del c\u00e1lculo (y abono) de los intereses supon\u00eda cambiar el tipo de inter\u00e9s a aplicar para que la operaci\u00f3n no se viera afectada finalmente. Entonces se comprob\u00f3 que los tantos de inter\u00e9s equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n

i = ik<\/sub> x k<\/p>\n

Sin embargo, esta relaci\u00f3n de proporcionalidad no va a ser v\u00e1lida en r\u00e9gimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el c\u00e1lculo de intereses se hace sobre una base cada vez m\u00e1s grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalizaci\u00f3n antes se acumular\u00e1n los intereses y antes generar\u00e1n nuevos intereses, por lo que existir\u00e1n diferencias en funci\u00f3n de la frecuencia de acumulaci\u00f3n de los mismos al capital para un tanto de inter\u00e9s dado.<\/p>\n

Este car\u00e1cter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicaci\u00f3n de un tipo m\u00e1s peque\u00f1o que el proporcional en funci\u00f3n de la frecuencia de c\u00f3mputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 a\u00f1o en las siguientes condiciones:<\/p>\n

    \n
  1. Inter\u00e9s anual del 12%\n

    Cn<\/sub> = 1.000 x (1 + 0,12)1<\/sup> = 1.120,00<\/p>\n<\/li>\n

  2. Inter\u00e9s semestral del 6%\n

    Cn<\/sub> = 1.000 x (1 + 0,06)2<\/sup> = 1.123,60 <\/p>\n<\/li>\n

  3. Inter\u00e9s trimestral del 3%\n

    Cn<\/sub> = 1.000 x (1 + 0,03)4<\/sup> = 1.125,51 <\/li>\n<\/ol>\n

    Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalizaci\u00f3n de los intereses se est\u00e1 realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados.<\/p>\n

    Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalizaci\u00f3n, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.<\/p>\n

    2.1. RELACI\u00d3N DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA<\/h2>\n

    Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relaci\u00f3n:<\/p>\n

    1 + i = (1 + ik<\/sub>)k<\/sup> <\/p>\n

    donde k es la frecuencia de capitalizaci\u00f3n, que indica:<\/p>\n

      \n
    • El n\u00famero de partes iguales en las que se divide el per\u00edodo de referencia que se tome (habitualmente el a\u00f1o).<\/li>\n
    • Cada cu\u00e1nto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cu\u00e1nto tiempo se acumulan los intereses, dentro del per\u00edodo, al capital para producir nuevos intereses.<\/li>\n<\/ul>\n

      Esta relaci\u00f3n se obtiene a partir de la definici\u00f3n de equivalencia vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un determinado per\u00edodo de tiempo (n a\u00f1os) genere el mismo montante (Cn) con independencia de la frecuencia de acumulaci\u00f3n de intereses (i o ik):
      Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido ser\u00e1:<\/p>\n

      \"\"<\/p>\n

      Cn<\/sub> = C0<\/sub> x (1 + i)n<\/sup><\/p>\n

      Utilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido ser\u00e1:<\/p>\n

      \"\"<\/p>\n

      Cn<\/sub> = C0<\/sub> x (1 + ik<\/sub>)nk<\/sup><\/p>\n

      Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operaci\u00f3n es la misma \u2013ya que lo \u00fanico que ha cambiado es la frecuencia de c\u00e1lculo de los intereses\u2013, se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes: <\/p>\n

      C0<\/sub> x (1 + i)n<\/sup> = C0<\/sub> x (1 + ik<\/sub>)nk<\/sup><\/p>\n

      Simplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n: <\/p>\n

      C0<\/sub> x (1 + i)n<\/sup> = C0<\/sub> x (1 + ik<\/sub>)nk<\/sup> <\/p>\n

      Quedando finalmente:<\/p>\n\n\n\n
      (1 + i ) = (1 + ik<\/sub>)k<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

      Expresi\u00f3n que indica la relaci\u00f3n en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes.<\/p>\n

      El valor de i en funci\u00f3n de ik ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n
      i = (1 + ik<\/sub>)k<\/sup> \u2013 1 <\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

      El valor de ik en funci\u00f3n de i ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n
      ik<\/sub> = (1 + i)1\/k<\/sup> \u2013 1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

      <\/p>\n

      \n

      EJEMPLO 6 <\/strong><\/p>\n

      Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 a\u00f1o a un tanto del 12% efectivo anual, suponiendo:<\/p>\n

        \n
      1. Devengo anual de intereses:\n

        i = 0,12
        Cn<\/sub> = 1.000 x (1 + 0,12)1<\/sup> = 1.120,00 \u20ac<\/p>\n<\/li>\n

      2. Devengo semestral de intereses:\n

        Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de c\u00e1lculo es semestral, habr\u00e1 que calcular previamente el tanto semestral equivalente al anual de partida, para despu\u00e9s calcular el montante.<\/p>\n

        i2<\/sub> = (1 + 0,12)1\/2<\/sup> \u2013 1 = 0,05830
        Cn<\/sub> = 1.000 x (1 + 0,05830)2<\/sup> = 1.120,00 \u20ac<\/p>\n<\/li>\n

      3. Devengo trimestral de intereses:\n

        Igual que en el caso anterior, habr\u00e1 que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido.<\/p>\n

        i4<\/sub> = (1 + 0,12)1\/4<\/sup> \u2013 1 = 0,028737
        Cn<\/sub> = 1.000 x (1 + 0,028737)4<\/sup> = 1.120,00 \u20ac<\/li>\n<\/ol>\n

        Los resultados son los mismos, debido a la utilizaci\u00f3n de intereses equivalentes.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        La definici\u00f3n de tantos equivalentes es la misma que la vista en r\u00e9gimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo per\u00edodo de tiempo producen el mismo inter\u00e9s o generan el mismo capital final o montante. […]<\/p>\n","protected":false},"author":27,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":2020,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n2. 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