{"id":1840,"date":"2016-07-15T08:32:31","date_gmt":"2016-07-15T08:32:31","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/?page_id=1840"},"modified":"2017-02-14T15:00:24","modified_gmt":"2017-02-14T15:00:24","slug":"capitalizacion-compuesta-i-p4-htm","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.udima.es\/administracion-y-direccion-de-empresas\/capitalizacion-compuesta-i-p4-htm\/","title":{"rendered":"1. Capitalizaci\u00f3n compuesta"},"content":{"rendered":"

1.1. CONCEPTO<\/h2>\n

Operaci\u00f3n financiera cuyo objeto es la sustituci\u00f3n de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicaci\u00f3n de la ley financiera de capitalizaci\u00f3n compuesta.<\/p>\n

Tambi\u00e9n te puede interesar ver las operaciones de capitalizaci\u00f3n simple<\/a><\/strong>.<\/p><\/blockquote>\n

1.2. DESCRIPCI\u00d3N DE LA OPERACI\u00d3N<\/h2>\n

El capital final (montante) (Cn<\/sub>) se va formando por la acumulaci\u00f3n al capital inicial (C0<\/sub>) de los intereses que peri\u00f3dicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operaci\u00f3n (n), pudi\u00e9ndose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.<\/p>\n

1.3. CARACTER\u00cdSTICAS DE LA OPERACI\u00d3N<\/h2>\n

Los intereses son productivos, lo que significa que:<\/p>\n

    \n
  • A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los per\u00edodos siguientes.<\/li>\n
  • Los intereses de cualquier per\u00edodo siempre los genera el capital existente al inicio de dicho per\u00edodo.<\/li>\n<\/ul>\n

    Gr\u00e1ficamente para una operaci\u00f3n de tres per\u00edodos:<\/p>\n

     <\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

     <\/p>\n

    1.4. DESARROLLO DE LA OPERACI\u00d3N<\/h2>\n

    El capital al final de cada per\u00edodo es el resultado de a\u00f1adir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho per\u00edodo. De esta forma, la evoluci\u00f3n del montante conseguido en cada momento es el siguiente:<\/p>\n

     <\/p>\n

    \n
    \n
    \n\n\n\n
    Momento 0: C0<\/sub>
    \nMomento 1: C1<\/sub> = C0<\/sub> + I1<\/sub> = C0<\/sub> + C0<\/sub> x i = C0<\/sub> x (1 + i)
    \nMomento 2: C2<\/sub> = C1<\/sub> + I2<\/sub> = C1<\/sub> + C1<\/sub> x i = C1<\/sub> x (1 + i) =
    \n= C0<\/sub> x (1 + i) x (1 + i) = C0<\/sub> x (1 + i)2<\/sup>
    \nMomento 3: C3<\/sub> = C2<\/sub> + I3<\/sub> = C2<\/sub> + C2<\/sub> x i = C2<\/sub> x (1 + i) =
    \n= C0<\/sub> x (1 + i)2<\/sup> x (1 + i) = C0<\/sub> x (1 + i)3<\/sup>
    \n\u2026
    \nMomento n:<\/p>\n\n\n\n
    Cn<\/sub> = C0<\/sub> x (1 + i)n<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

     <\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/blockquote>\n<\/blockquote>\n<\/blockquote>\n

    Expresi\u00f3n que permite calcular el capital final o montante (Cn<\/sub>) en r\u00e9gimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0<\/sub>), el tipo de inter\u00e9s (i) y la duraci\u00f3n (n) de la operaci\u00f3n.<\/p>\n

    Expresi\u00f3n aplicable cuando el tipo de inter\u00e9s de la operaci\u00f3n no var\u00eda. En caso contrario habr\u00e1 que trabajar con el tipo vigente en cada per\u00edodo.<\/p>\n

    A partir de la expresi\u00f3n anterior (denominada f\u00f3rmula fundamental de la capitalizaci\u00f3n compuesta) adem\u00e1s de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.<\/p>\n

     <\/p>\n

    \n

    EJEMPLO 1 <\/strong><\/p>\n

    Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 a\u00f1os en r\u00e9gimen de capitalizaci\u00f3n compuesta.<\/p>\n

     <\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

     <\/p>\n

    C10<\/sub> = 200 x (1 + 0,05 )10<\/sup> = 325,78 \u20ac<\/p>\n

    Si se hubiese calculado en simple:<\/p>\n

    C10<\/sub> = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 \u20ac<\/p>\n

    La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.<\/p>\n<\/div>\n

     <\/p>\n

    1.5. C\u00c1LCULO DEL CAPITAL INICIAL<\/h2>\n

    Partiendo de la f\u00f3rmula de c\u00e1lculo del capital final o montante y conocidos \u00e9ste, la duraci\u00f3n de la operaci\u00f3n y el tanto de inter\u00e9s, bastar\u00e1 con despejar de la misma:<\/p>\n

    Cn<\/sub> = C0<\/sub> x (1 + i)n<\/sup><\/p>\n

    de donde se despeja C0<\/sub>:<\/p>\n

     <\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

     <\/p>\n

    \n

    EJEMPLO 2 <\/strong><\/p>\n

    \u00bfCu\u00e1nto deber\u00e9 invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 a\u00f1os de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de inter\u00e9s anual compuesto para ese plazo?<\/p>\n

     <\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

     <\/p>\n\n\n\n
    \n
    C0<\/sub> =<\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    1.500
    \n—————–
    \n(1 + 0,06)2<\/sup><\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    = 1.334,99 \u20ac<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

     <\/p>\n<\/div>\n

    <\/h2>\n

    1.6. C\u00c1LCULO DE LOS INTERESES TOTALES<\/h2>\n

    Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr\u00e1 por diferencia entre ambos:<\/p>\n

     <\/p>\n\n\n\n
    In<\/sub> = Cn<\/sub> \u2013 C0<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

     <\/p>\n

    \n

    EJEMPLO 3<\/strong><\/p>\n

    \u00bfQu\u00e9 intereses producir\u00e1n 300 euros invertidos 4 a\u00f1os al 7% compuesto anual?
    \n300 I4?<\/p>\n

     <\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

     <\/p>\n

    C4<\/sub> = 300 x (1 + 0,07)4<\/sup> = 393,24 \u20ac
    \nIn<\/sub> = 393,24 \u2013 300 = 93,24 \u20ac<\/p>\n

    \n<\/div>\n

     <\/p>\n

    1.7. C\u00c1LCULO DEL TIPO DE INTER\u00c9S<\/h2>\n

    Si se conoce el resto de elementos de la operaci\u00f3n: capital inicial, capital final y duraci\u00f3n, basta con tener en cuenta la f\u00f3rmula general de la capitalizaci\u00f3n compuesta y despejar la variable desconocida.<\/p>\n

    Cn<\/sub> = C0<\/sub> x (1 + i)n<\/sup><\/p>\n

    Los pasos a seguir son los siguientes:<\/p>\n

      \n
    • Pasar el C0<\/sub> al primer miembro:
      \nCn<\/sub>
      \n—- = (1 + i)n<\/sup>
      \nC0<\/sub><\/li>\n
    • Quitar la potencia (extrayendo ra\u00edz n a los dos miembros):
      \n\"\"<\/li>\n
    • Despejar el tipo de inter\u00e9s:
      \n\"\"<\/li>\n<\/ul>\n

       <\/p>\n

      \n

      EJEMPLO 4 <\/strong><\/p>\n

       <\/p>\n

      Determinar el tanto de inter\u00e9s anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 a\u00f1os se obtenga un montante de 1.601,03 euros.<\/p>\n

      \n

      \"\"<\/p>\n

      \n

      1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03<\/p>\n

      \n

      \"\"<\/p>\n<\/div>\n

       <\/p>\n

      1.8. C\u00c1LCULO DE LA DURACI\u00d3N<\/h2>\n

      Conocidos los dem\u00e1s componentes de la operaci\u00f3n: capital inicial, capital final y tipo de inter\u00e9s, basta con tener en cuenta la f\u00f3rmula general de la capitalizaci\u00f3n compuesta y despejar la variable desconocida.<\/p>\n

        \n
      • Punto de partida:\"\"
        \n<\/sup><\/li>\n
      • Pasar el C0 al primer miembro:
        \n\"\"<\/li>\n
      • Extraemos logaritmos a ambos miembros:
        \n\"\"<\/li>\n
      • Aplicamos propiedades de los logaritmos:\"\"<\/li>\n
      • Despejar la duraci\u00f3n:<\/li>\n<\/ul>\n

        \"\"<\/p>\n

        \n

        EJEMPLO 5 <\/strong><\/p>\n

        Un capital de 2.000 euros colocado a inter\u00e9s compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.<\/p>\n

         <\/p>\n

        \"\"<\/p>\n

         <\/p>\n

        2.000 x (1 + 0,04 )n<\/sup> = 3.202<\/p>\n\n\n\n
        \n
        n =<\/div>\n<\/td>\n
        		\n
        log Cn<\/sub> \u2013 log C0<\/sub>
        \n———————-
        \nlog (1 + i)<\/div>\n<\/td>\n
        		\n
        log 3.202 \u2013 log 2.000
        \n= ——————————
        \nlog 1,04<\/div>\n<\/td>\n
        		= 12 a\u00f1os<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

        \n<\/div>\n

         <\/p>\n

        1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA CAPITALIZACI\u00d3N SIMPLE Y COMPUESTA<\/h2>\n

        Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 a\u00f1os, el siguiente cuadro recoge el montante alcanzado al final de cada per\u00edodo en un caso y otro:<\/p>\n

         <\/p>\n\n\n\n\n\n
        \n
        A\u00f1os<\/span><\/div>\n<\/td>\n
        		\n
        1<\/span><\/div>\n<\/td>\n
        		\n
        2<\/span><\/div>\n<\/td>\n
        		\n
        3<\/span><\/div>\n<\/td>\n
        		\n
        4<\/span><\/div>\n<\/td>\n
        		\n
        5<\/span><\/div>\n<\/td>\n
        		\n
        6<\/span><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
        En simple……….<\/td>\n1.100,00<\/td>\n1.200,00<\/td>\n1.300,00<\/td>\n1.400,00<\/td>\n1.500,00<\/td>\n1.600,00<\/td>\n<\/tr>\n
        En compuesta…<\/td>\n1.100,00<\/td>\n1.210,00<\/td>\n1.331,00<\/td>\n1.464,10<\/td>\n1.610,51<\/td>\n1.771,56<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

         <\/p>\n

        Donde se observa que el montante obtenido en r\u00e9gimen de simple va aumentando linealmente, cada a\u00f1o aumentan 100 euros (los intereses del a\u00f1o, generados siempre por el capital inicial de 1.000 euros). Por su parte, en la operaci\u00f3n en compuesta, cada a\u00f1o se van generando m\u00e1s intereses que en el per\u00edodo anterior: la evoluci\u00f3n no es lineal sino exponencial, consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada a\u00f1o mayor (los intereses generan nuevos intereses en per\u00edodos siguientes).<\/p>\n

        Gr\u00e1ficamente:<\/p>\n

         <\/p>\n

        \"\"<\/p>\n

         <\/p>\n

        Transcurrido un per\u00edodo (1 a\u00f1o si se considera tipos anuales) el montante coincide en ambos reg\u00edmenes, para cualquier otro momento ya no existe ninguna coincidencia, siendo las diferencias entre ambos sistemas cada vez mayores.<\/p>\n

        De la misma forma, se cumple que para per\u00edodos inferiores al a\u00f1o el montante es mayor en r\u00e9gimen de simple y, a partir del a\u00f1o, es mayor en compuesta. \u00c9ste es el motivo de la preferencia de la capitalizaci\u00f3n simple en operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        1.1. CONCEPTO Operaci\u00f3n financiera cuyo objeto es la sustituci\u00f3n de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicaci\u00f3n de la ley financiera de capitalizaci\u00f3n compuesta. Tambi\u00e9n te puede interesar ver las operaciones de capitalizaci\u00f3n simple. 1.2. DESCRIPCI\u00d3N DE LA OPERACI\u00d3N El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulaci\u00f3n al […]<\/p>\n","protected":false},"author":27,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":2010,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n1. 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