La problemática de este tipo de empréstitos es la misma que la comentada cuando el término amortizativo es variable en progresión geométrica con características comerciales. Por tanto, la manera de proceder es la misma que la desarrollada en aquel caso.

 

EJEMPLO 10

Se emite el siguiente empréstito:

  • Títulos emitidos: 100.000.
  • Nominal del título: 1.000 euros.
  • Duración: 4 años.
  • Cupón anual: 125 euros.
  • Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 euros.
  • Anualidades comerciales variables en progresión aritmética de razón: 500.000 euros/año.

Se pide:

  • Anualidad del tercer año.
  • Cuadro de amortización

Solución:

Es un empréstito de cupón periódico constante y anualidad variable en progresión aritmética de razón 500.000 euros, con prima de amortización constante; los pasos a seguir son:

  1. Estructura de la anualidad teórica

  2. Normalización

       ak                 i
    ——– = c x ——– x Nk + Mk
     c + p            c + p

     ak x c            c x i
    ——– = c x ——– x Nk + c x Mk
     c + p            c + p

    Siendo:

             c x ak           c x i               125
    a’ = ———- i’ = ——— = —————— = 0,10416666
             c + p            c + p       1.000 + 200

    Resulta el empréstito normalizado:

    a’k = c x i’ x Nk + c x Mk

    Gráficamente:

  3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades teóricas normalizadas trabajando con sumatorios

  4. Sustitución de la anualidad normalizada por el valor obtenido en la normalización

  5. Extracción del sumatorio de aquello que multiplique y/o divida en el numerador

  6. Conversión de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de renta

  7. Sustitución en la expresión por valores numéricos y despeje de a1

Anualidad del tercer año

a3 = a1 + 2 x 500.000 = 38.510.261,17

Cuadro de amortización

 

 
(1)
(2)
(3)
(4) = (1) x 125
(5) = (2) x 1.200
(6) = (4) + (5)
0
Año
Títulos vivos
Títulos amortiz.
Total tít. amort.
Intereses
Amortización
Término amortizativo
1
2
3
4
100.000
79.158

55.729
29.442
20.842

23.429

26.287

29.442
20.842
44.271

70.558

100.000
12.500.000
9.894.750

6.966.125

3.680.225
25.010.400

28.114.800

31.544.400

35.330.400
37.510.400
38.009.550

38.510.525

39.010.65

 

Cálculo de títulos amortizados

 

Año 1:

 a1 = c x i x N1 + (c + p) x M1
37.510.261,17 = 125 x 100.000 + 1.200 x M1
M1 = 20.841,88
Año 2:

a2 = c x i x N2 + (c + p) x M2
38.010.261,17 = 125 x (N1 – M1) + 1.200 x M2
M2 = 23.429,58
Año 3:

a3 = c x i x N3 + (c + p) x M3
38.510.261,17 = 125 x (N1 – M1 – M2) + 1.200 x M3
M3 = 26.286,83
Año 4

a4 = c x i x N4 + (c + p) x M4
39.010.261,17 = 125 x (N1 – M1 – M2 – M3) + 1.200 x M4
M4 = 29.441,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Para el cálculo de Mk también se podía haber empleado la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados en este tipo de empréstitos.

 

M1 = 20.841,88 ® M1 = 20.842
M2 = 23.429,58 M2 = 23.429
M3 = 26.286,83 ® M3 = 26.287
M4 = 29.441,71 ® M44 = 29.442
         ————-
           99.997 		          ————-
            100.000