Se parte de un empréstito que ya existe, cuyos títulos se encuentran en circulación y del que se conoce su sistema de amortización, es decir, cuántos títulos se van a amortizar en cada uno de los sorteos que aún quedan pendientes de realizar.

Lo que se pretende es la sustitución del plan de amortización inicialmente previsto por otro alternativo consistente en una amortización única de todos los títulos en circulación en el momento de estudio de una sola vez, obligándose a que ambos sistemas de amortización resulten equivalentes. El momento donde tendrá que efectuarse ese sorteo único que consiga la equivalencia financiera es lo que se denomina vida financiera del empréstito.

El estudio de equivalencia se efectuará en el momento donde se plantea la sustitución (k) valorándose las dos alternativas al tanto de mercado vigente en ese momento (i_m).

Caso 1: empréstito clase I, tipo I

La estructura del término amortizativo será la siguiente, para el caso de no tener características comerciales:

 

 

Situados a principios de k+1 el esquema de flujos futuros del empréstito, de acuerdo con el plan de reembolso inicialmente previsto, es el siguiente:

 

 

El sistema de amortización alternativo supone pagar periódicamente cupones a todos los títulos vivos en la fecha de estudio y amortizarlos todos de una sola vez en un momento futuro desconocido (la vida matemática). El esquema de flujos de caja del nuevo empréstito es el siguiente:

 

 

Valorando al tanto im en k las dos alternativas e igualándolas:

 

 

siendo X = vida financiera, la incógnita a despejar.

De igual manera que se ha trabajado con el empréstito en su conjunto, se podría realizar el estudio considerando solamente los cupones o los valores de reembolso.

1.º Considerando sólo el pago de cupones: vida financiera de los intereses (X₁)

Se valoran en el momento k, por una parte los pagos de cupones que se realizarán en el futuro de acuerdo con el plan de amortización inicial y, por otra parte, los cupones que se pagarán caso de amortizar todos los títulos de una sola vez en X₁. El resultado de igualar ambas corrientes de pagos será:

 

 

A continuación, se pasará N_k+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtiene la definición de usufructo medio del empréstito en ese momento (U_k).

 

siendo X₁ = vida financiera de los intereses, la incógnita a despejar.

2.º Considerando sólo el valor de reembolso: vida financiera de los valores de reembolso (X₂)

Se valoran en el momento k, por una parte, los valores de reembolso que se realizarán en el futuro de acuerdo con el plan de amortización inicial y, por otra parte, el resultado de amortizar todos los títulos de una sola vez en X₂ (desconocido). El resultado de igualar ambas corrientes de pagos será:

 

 

A continuación, se pasará N_k+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtiene la definición de nuda propiedad media del empréstito en ese momento (N_k).

 

 

siendo X₁ = vida financiera de los intereses, la incógnita a despejar.

Si el valor de reembolso se mantiene constante se cumple X = X₁ = X₂, lo que implica la existencia de una vida financiera única.

 

 

 

Caso 2: empréstito clase II, tipo I, puro.

La estructura del término amortizativo (anualidad) será la siguiente, para el caso de no tener características comerciales:

 

 

Situados a principios de k+1 el esquema de flujos futuros del empréstito, de acuerdo con el plan de reembolso inicialmente previsto, es el siguiente:

 

 

El resultado de actualizar todos estos flujos al momento k al tipo de mercado (i_m), quedaría:

 

 

Por otra parte, el sistema de amortización alternativo supone la amortización de una sola vez de los títulos vivos en k en un momento futuro originando los siguientes flujos de caja:

 

 

La actualización de ese único pago en el momento del estudio (k) al tanto de mercado resulta:

 

  c x (1 + i)^k+x x N_k+1
————————–

          (1 + i_m)^x

 

Finalmente, igualando las dos alternativas:

 

 

A continuación, se pasará N_k+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtiene la definición de valor medio del empréstito en ese momento (V_k).

 

 

O de otra forma:

 

 

siendo X = vida financiera, la incógnita a despejar.

 

ANEXO I

Cálculo de la vida media en empréstitos clase I, tipo I, puro

Realizando el estudio en el origen:

 

 

como: M_k = N_k – N_k+1

 

 

como:

 

 

 

ANEXO II

Cálculo de la vida mediana en empréstitos clase I, tipo I, puro

Aplicando la definición en el origen:

 

 

como:

∑

y además se cumple:

sustituyendo:

 

 

eliminando M₁ y desarrollando el valor final de una renta unitaria pospagable:

  (1 + i)^x – 1
—————–

         i                   1
—————– = ——-
  (1 + i)ⁿ – 1         2
—————–

         i

eliminamos el i de ambos denominadores:

  (1 + i)^x – 1        1
—————- = ——
  (1 + i)ⁿ – 1        2

reordenando la expresión:

                      (1 + i)ⁿ – 1
(1 + i)^x – 1 = —————
                             2

resultando finalmente la expresión buscada:

                (1 + i)ⁿ + 1
(1 + i)^x = —————
                       2